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1、2009年湖南高考数学试题数学（文史类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1的值为 ( ) ABCD 2抛物线的焦点坐标是 ( ) AB CD 3设是等差数列的前项和. 已知, , 则等于 ( ) A BC D 图14如图, , , 分别是的边, , 的中点，则 ( )ABC D 5某地政府召集家企业的负责人开会，已知甲企业有人到会，其余家企业各有 1人到会，会上有人发言，则这人来自家不同企业的可能情况的种数为 ( )A B C D 6平行六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为 ( )A B C D 7若函数的导函数在区间上是增函
2、数，则函数在区间上的图象可能是 ( ) xOyabOyabxOyabxxOyabAB C D 8设函数在内有定义对于给定的正数, 定义函数 取函数当时，函数的单调递增区间为 ( )A B CD 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9某班共人，其中人喜爱篮球运动，人喜爱乒乓球运动，人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 10若, 则的最小值为 11在的展开式中，的系数为 （用数字作答） 12一个总体分为, 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本已知层中每个个体被抽到的概率都为, 则总体中的个体数为 13过双曲
3、线：的一个焦点作圆的两条切线， 切点分别为, 若120（是坐标原点），则双曲线的离心率为 14在锐角中, , , 则的值等于 , 的取值范围为 图215如图, 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若, 则 , = 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）已知向量a, b. ()若ab, 求的值；()若, , 求的值.17（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的, , . 现有名工人独立地从中任选一个项目参与建设. 求： ()他们选择的
4、项目所属类别互不相同的概率； ()至少有人选择的项目属于民生工程的概率. 18（本小题满分12分）如图, 在正三棱柱中, , , 点是的中点，点在上，且.()证明：平面平面；图3()求直线和平面所成角的正弦值. 19（本小题满分13分）已知函数的导函数的图象关于直线对称.()求的值；()若在处取得极小值，记此极小值为, 求的定义域和值域. 20（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为的正方形（记为）.()求椭圆的方程；()设点是椭圆的左准线与轴的交点，过点的直线与椭圆相交于,两点. 当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线
5、的斜率的取值范围.21（本小题满分13分）对于数列, 若存在常数, 对任意的, 恒有, 则称数列为数列.()首项为, 公比为的等比数列是否为数列？请说明理由；()设是数列的前项和. 给出下列两组论断：组：数列是数列，数列不是数列；组：数列是数列，数列不是数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论；() 若数列是数列，证明：数列也是数列.2009年湖南高考数学试题数学（文史类）答案一：单项选择题1-5 DBCAB 6-8 CAC二：填空题9: 12 10： 11: 6 12: 120 13： 2 14: 2 ， 15 ： ，
6、三：简答题16：解 （）因为ab，所以，于是，故（）由知，所以 从而，即，于是 又由知，所以，或因此，或17：解 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件，由题意知，相互独立，相互独立，相互独立，（，且，互不相同）相互独立，且， （）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 （）至少有人选择的项目属于民生工程的概率 18：解 （）如图所示，由正三棱柱的性质知平面又平面，所以 而，所以平面又平面，故平面平面 （）解法1 过点作垂直于点，连结由（）知，平面平面，所以平面故是直线和平面所成的角 因为平面，所以而是边长为的正三角形，于是,又因为，所以，即直线和平面所成角的正弦
7、值为 解法2 如图所示，设是的中点，以为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是，易知，.设是平面的一个法向量，则解得，故可取 于是由此即知，直线和平面所成角的正弦值为19：解 （）因为函数的图象关于直线对称，所以，于是 （）由（）知， （）当时，此时无极值 （）当时，有两个互异实根，不妨设，则当时，在区间内为增函数；当时，在区间内为减函数；当时，在区间内为增函数所以在处取极大值，在处取极小值因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以于是的定义域为 由得于是， 当时，所以函数在区间内是减函数故的值域为20：解 （）依题意，设椭圆的方程为（），焦距为，由题设条件知，所以，故椭圆的方程为
8、. （）椭圆的左准线方程为，所以点的坐标为. 显然直线的斜率存在，所以直线的方程为.如图，设点，的坐标分别为，线段的中点为， 由得. 由解得. 因为，是方程的两根，所以，于是，.因为，所以点不可能在轴的右边. 又直线,的方程分别为,所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为 即亦即 解得，此时也成立.故直线斜率的取值范围是. 21：解 （）设满足题设的等比数列为，则于是 ，因此 所以首项为，公比为的等比数列是数列（）命题1：若数列是数列, 则数列是数列此命题为假命题 事实上，设，易知数列是数列但，由的任意性知，数列不是数列 命题2：若数列是数列，则数列是数列此命题为真命题 事实上，因为数列是数列，所以存在正数，对任意的，有，即于是 ，所以数列是数列 （注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）（III）若数列是数列，则存在正数, 对任意的，有因为 记，则有因此故数列是数列
