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1、决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题14 几何变换问题【考点1】平移变换问题【例1】（2019山东中考真题）在平面直角坐标系中,将点A（1,2）向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点A,则点A的坐标是（）A（1,1） B（1,2） C（1,2） D（1,2）【参考参考答案】A【解析】试题分析：已知将点A（1,2）向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点A,根据向左平移横坐标减,向上平移纵坐标加可得点A的横坐标为12=1,纵坐标为2+3=1,即A的坐标为（1,1）故选A考点：坐标与图形变化-平移【变式1-1】（2019甘肃中考真题）如图,在平面直角坐标系中,将四边形
2、向下平移,再向右平移得到四边形,已知,则点坐标为（ ）ABCD【参考参考答案】B【解析】【分析】根据A和A1的坐标得出四边形ABCD先向下平移2个单位,再向右平移6个单位得到四边形,则B的平移方法与A点相同,即可得到参考参考答案【详解】图形向下平移,纵坐标发生变化,图形向右平移,横坐标发生变化. A（3,5）到A1（3,3）得向右平移3（3）6个单位,向下平移532个单位.所以B（4,3）平移后B1（2,1）.故选B.【点睛】此题考查图形的平移.,掌握平移的性质是解题关键【变式1-2】（2019广西中考真题）如图,在平面直角坐标系中,已知的三个顶点坐标分别是（1）将向上平移4个单位长度得到,请
3、画出；（2）请画出与关于轴对称的；（3）请写出的坐标【参考参考答案】（1）如图所示：,即为所求；见解析；（2）如图所示：,即为所求；见解析；（3）【解析】【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出参考参考答案；（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出参考参考答案；（3）利用所画图象得出对应点坐标.【详解】（1）如图所示：,即为所求；（2）如图所示：,即为所求；（3）【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换,正确得出对应点位置是解题关键.【考点2】轴对称变换问题（含折叠变换）【例2】（2019四川中考真题）如图,在菱形中,点分别在边上,将四边形沿翻折,使的对应线段经过顶点
4、,当时,的值是_【参考参考答案】.【解析】【分析】延长交于点,进而利用翻折变换的性质得出,再利用菱形的性质得出,设,利用勾股定理得出,再根据三角函数进行计算即可解答【详解】延长交于点,将四边形沿翻折,四边形是菱形,设,故参考参考答案为：.【点睛】此题考查翻折变换,菱形的性质,三角函数,解题关键在于利用折叠的性质进行解答【变式2-1】（2019江苏中考真题）如图,将平行四边形纸片沿一条直线折叠,使点与点重合,点落在点处,折痕为求证：（1）；（2）【参考参考答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)依据平行四边形的性质,即可得到,由折叠可得,即可得到； (2)依据平行四边形的性质,即
5、可得出,由折叠可得,即可得到,进而得出【详解】(1)四边形是平行四边形,由折叠可得, ,；(2)四边形是平行四边形,由折叠可得,又,【点睛】本题考查了平行四边形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定,熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的性质是解题的关键.【变式2-2】（2019江苏中考真题）如图,已知等边ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）,直线l是经过点P的一条直线,把ABC沿直线l折叠,点B的对应点是点B.（1）如图1,当PB=4时,若点B恰好在AC边上,则AB的长度为_；（2）如图2,当PB=5时,若直线l/AC,则BB的长度为 ；（3）如图3,点P在AB边上运动过
6、程中,若直线l始终垂直于AC,ACB的面积是否变化？若变化,说明理由；若不变化,求出面积；（4）当PB=6时,在直线l变化过程中,求ACB面积的最大值.【参考参考答案】（1）4；（2）5；（3）面积不变,SACB=；（4）24+4【解析】【分析】(1)证明APB是等边三角形即可解决问题；(2)如图2中,设直线l交BC于点E,连接B B交PE于O,证明PEB是等边三角形,求出OB即可解决问题；(3)如图3中,结论：面积不变,证明B B/AC即可；(4)如图4中,当PBAC时,ACB的面积最大,设直线PB交AC于点E,求出BE即可解决问题.【详解】(1) 如图1,ABC为等边三角形,A=60,AB
7、=BC=CA=8,PB=4,PB=PB=PA=4,A=60,APB是等边三角形,AB=AP=4,故参考参考答案为4； (2)如图2,设直线l交BC于点E,连接B B交PE于O,PEAC,BPE=A=60,BEP=C=60,PEB是等边三角形,PB=5,B、B关于PE对称,BBPE,BB=2OB,OB=PBsin60=,BB=5,故参考参考答案为5；(3)如图3,结论：面积不变.过点B作BEAC于E,则有BE=ABsin60=,SABC=16,B、B关于直线l对称,BB直线l,直线lAC,AC/BB,SACB=SABC=16；(4)如图4,当BPAC时,ACB的面积最大,设直线PB交AC于E,在
8、RtAPE中,PA=2,PAE=60,PE=PAsin60=,BE=BP+PE=6+,SACB最大值=(6+)8=24+4.【点睛】本题是几何变换综合题,考查了等边三角形的判定与性质,轴对称变换,解直角三角形,平行线的判定与性质等知识,理解题意,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.【考点3】旋转变换问题【例3】（2019山东中考真题）(1)问题发现如图1,ACB和DCE均为等腰直角三角形,ACB=90,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,ACB和DCE均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90,请判断AD,BE的关系,并说明理由.(3)解决问题如
9、图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.【参考参考答案】(1) AD=BE,ADBE(2) AD=BE,ADBE(3) 5-3PC5+3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证ACDBCE（SAS）,得AD=BE,EBC=CAD,延长BE交AD于点F,由垂直定义得ADBE（2）根据等腰三角形性质证ACDBCE（SAS）,AD=BE,CAD=CBE,由垂直定义得OHB=90,ADBE；（3）作AEAP,使得AE=PA,则易证APEACP,PC=BE,当P、E、B共线时,BE最小,最小值=PB
10、-PE；当P、E、B共线时,BE最大,最大值=PB+PE,故5-3BE5+3.【详解】（1）结论：AD=BE,ADBE理由：如图1中,ACB与DCE均为等腰直角三角形,AC=BC,CE=CD,ACB=ACD=90,在RtACD和RtBCE中ACDBCE（SAS）,AD=BE,EBC=CAD延长BE交AD于点F,BCAD,EBC+CEB=90,CEB=AEF,EAD+AEF=90,AFE=90,即ADBEAD=BE,ADBE故参考参考答案为AD=BE,ADBE（2）结论：AD=BE,ADBE理由：如图2中,设AD交BE于H,AD交BC于OACB与DCE均为等腰直角三角形,AC=BC,CE=CD,
11、ACB=ECD=90,ACD=BCE,在RtACD和RtBCE中,ACDBCE（SAS）,AD=BE,CAD=CBE,CAO+AOC=90,AOC=BOH,BOH+OBH=90,OHB=90,ADBE,AD=BE,ADBE（3）如图3中,作AEAP,使得AE=PA,则易证APEACP,PC=BE,图3-1中,当P、E、B共线时,BE最小,最小值=PB-PE=5-3,图3-2中,当P、E、B共线时,BE最大,最大值=PB+PE=5+3,5-3BE5+3,即5-3PC5+3【点睛】本题是几何变换综合题,考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找三角形
12、全等的条件,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题【变式3-1】（2019辽宁中考真题）如图,ABC在平面直角坐标系中,顶点的坐标分别为A(-4,4),B(-1,1),C(-1,4)(1)画出与ABC关于y轴对称的A1B1C1(2)将ABC绕点B逆时针旋转90,得到A2BC2,画两出A2BC2(3)求线段AB在旋转过程中扫过的图形面积(结果保留)【参考参考答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3).【解析】【分析】(1)根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标,然后描点即可；(2)利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A2、C
13、2即可；(3)线段AB在旋转过程中扫过的图形为扇形,然后根据扇形面积公式计算即可【详解】解：(1)如图,AlB1C1为所作.(2)如图,A2BC2为所作；(3)AB=3,所以线段AB在旋转过程中扫过的图形面积=【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形也考查了扇形面积公式【变式3-2】（2019江苏中考真题）如图,在中,D是BC的中点小明对图进行了如下探究：在线段AD上任取一点P,连接PB将线段PB绕点P按逆时针方向旋转,点B的对应点是点E,连接BE,得到小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧请你帮助小明继续探究,并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时,如图所示 ；连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是 （2）请在图中画出,使点E在直线AD的右侧,连接CE试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由（3）当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值
