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1、利用仿射变换建立双目定位模型摘要：本文介绍了利用仿射变换理论来建立双目定位的数学模型，以仿射变换为理论基础，综合应用仿射矩阵、坐标变换和MATLAB编程作图建立两个坐标系之间的关系的数学模型。可以得到物坐标系与像坐标系之间的点坐标的相互转换，利用两台相机拍得同一实物的相片即可实现精确定位。相机照相时发生形状变形，但直线还是直线，符合仿射变换。这里我们采取两种方法来建立模型：方法一建立三个空间坐标系：物坐标系，物原像坐标系和像坐标系，由仿射变换得到物坐标系与物原像坐标系相对应的3*3的矩阵，矩阵可由最小二乘法再进行求导得到表达式，而物原像坐标系与像坐标系可由透镜成像公式得到，即可建立一个确定像平
2、面坐标的数学模型的算法。方法二直接得到物坐标系与像坐标的仿射矩阵变换关系。解决了问题一。再用MATALAB得像坐标系中作为特征点的圆心坐标，可以求得模型的3*3的仿射矩阵，解决了问题二中求解物圆心坐标对应的像平面上的坐标。精度是由一个像素点对应的实物坐标系下的大小和算法中通过矩阵范数求得的两部分组成，进行分析比较得到：方法一的误差主要出现在仿射变换中，误差小；而方法二的误差在经过放大的情况下还有仿射变换带来的误差，误差大。所以可以得到方法一的精度与稳定性明显高于方法二。这就解决了问题三中的精度与稳定性的讨论。在这里双目定位是由两部相机对同一实物拍照，得到两个相应的坐标系。将像平面的坐标代入建立
3、的模型可以得到物坐标系中的坐标，这里可以得到两部相机的相对距离，由此问题四得到了解决。同时我们还能根据这两部相机实现定位，达到了双目定位的目的。本文中的模型具有简单，直观的将物坐标定位到像坐标，而且精确度高，误差小的特点。关键词：仿射变换，物坐标系，物原像坐标系，像坐标系，圆心坐标，特征点1.问题的重述当今社会，利用数码相机进行双目定位在交通监管等方面有着广泛的应用。双目定位是指用两台固定在不同位置的相机摄得物体的像，从而获得物体特征点在像平面上的坐标。这里运用仿射变换可以建立对实物坐标与像平面坐标的对应关系，只要知道了两部相机精确的相对位置，就可由几何方法得到特征点在固定的一部相机坐标中的坐
4、标。由此确定两部相机的相对位置就成了双目定位的关键，而这一过程即为系统标定。系统标定的实际做法：取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心,12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆。（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y平面平行于像平面；（2）计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标，该相机的像距（即透镜中心到像平面的距离）是1577个像素单位（1毫米约为3.78个像素单位），相机分辨率为1024X768;（3）设计一种方法检验模型，并对方法的精度和稳定性进行
5、讨论；（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。2 .问题分析这里主要研究的是双目定位的问题，即利用两台固定位置的相机拍得实物的像，建立了三个坐标系：物坐标系X,物原像坐标系Y和像平面坐标系乙实际的圆在物原像上会发生变形成为椭圆（非标准椭圆）。直线还是直线，这符合仿射变换特征。由仿射变换原理，可以假设存在一个3*3的仿射变换矩阵，将物坐标变换成物原像坐标（或像坐标）。由标定的特征点可以求得一个从物坐标系到物原像（或像）坐标系的仿射变换的3*3的矩阵。再由像距可以得到物原像与像的相似关系，即可得到一个确定像平面坐标的数学模型，可以求得物平面上圆的圆心在像平面上的坐标。而在相机分
6、辨率一定的情况下，可由算法求得像上一个像素对应的物的实际距离就是精度，在本文建立了两种求解方法中进行比较，并对稳定性和误差进行分析。对于求解两部相机的相对位置。可以由另一部相机用同样的方法建立一个数学模型，最后由两个模型的像之间对应的实际距离可以求得两相机的相对位置。3 .假设与符号3.1 假设照相中实物发生变形，但直线变直线，符合仿射变换的条件.所以模型中可以运用仿射变换原理。可以将各空间XYZ坐标系投影到平面XOY标系中，Z坐标统一取为00假设模型中相机的参数为：实物到相机的距离D（即拍摄距离）是5m.镜头尺寸取为1/2英寸。3.2 符号说明X表示靶标平面上的坐标,X=（i=1的圆心；Y表
7、示物原像上的坐标Y=（i=15）为圆心；Z表示靶标像平面上的坐标Z=（i=15）为圆心；A表示从靶标平面到物镜平面的仿射矩阵；Q表示矩阵A的范数；m表示靶标像的中心到焦点的距离；n表示焦点到透镜中心的距离；K表示靶标平面到靶标像平面的仿射矩阵；F为镜头的焦距长度；V为拍摄对象的纵向尺寸；H为拍摄对象的横向尺寸；D为镜头至拍摄对象之间的距离；V为镜头纵向尺寸；H为镜头横向尺寸；d为两相机的相对距离；h,h,h为圆心连线的中点。4 .模型的建立与求解4.1 问题（1）的模型与算法这里可以由两种方法来建立模型。普杼而仿射变火韧带由蛙的y5而透镜外相和流像聃7#而图1相机成像原理图图1是反映物坐标系，
8、物原像坐标系，像坐标系之间的关系方法一在原实物图即靶标上建立XiX2平面坐标系，并且取25个特征点Xi=(Xii,Xi2,0)i=125(即各圆中心和上下左右距点为特征点)在物镜所成的像上建立Y1Y2平面坐标系，取与X轴上的特征点相对应的25个特征点Yi=(Yii,Yi2,0)(即各圆中心和上下左右距点为特征点)由仿射变换建立如下对应关系i=12SY=AX(1.1)其中矩阵A就是我们建立的仿射变换矩阵。设A=aiia213iai2a22a32ai3a23a33由于我们先是在平面上面讨论变换问题，所以设ai3=0823=0a33=1,故所以aii=a211a31ai2a22a320101Yi=A
9、Xi(1iY25=AX252TQi=|Yi-AXi|=Yi-AXiY-AXi(1.4)(1.4)式是用精度误差较小的最下二乘法来解出矩阵A25我们先来求Q的最小值minQ,其中Q=ZQiEQi100首先用Q对aj求导得并且令=0FQ：5：:Qi=乙:aijy二am工-2Y；TXi+XTAXiXTAT-Xi(1.5)T二aijy二aijiJ二aij首先对一个分量求导即二=0。二aj-2yiixii2aiixii2xiixi2ai2=07. 2C2c8. 2yiixi22xiixi2aii2xi2ai2=0入c2cc9. 2yi2xii2a2ixii-2为函2a22-0-2yi2Xi2-2a2iX
10、iiXi22xi2a22=0(1.6)22a3ixii2xiixi2a322a3ixiixi22xi22a32建立方程组的系数矩阵一2冷22xiixi200002xiixi22xi220000002xii22xiixi2001002xiixi22x220000002X：2xiixi2:.00002xiixi22xi22P=2yiixii|2yiixi22yi2xii2yi2xi20常数项矩阵Bi变量矩阵L=a2ia22a3i021可以看到经过求导后展开式中有三个变量在计算过程中消去原因是我们建立模型的时候是在平面坐标系中讨论变换，所以第三维的坐标为0.由于要保证矩阵A满秩可逆，所以我们令a7=
11、0,a23=0,a33=i。所有特征点对应的式子相加便是能够解出A中未知变量的线性方程组2525ZPiL=ZBiiiii2525运用matlab中的矩阵命令计算出矩阵R,Bj的值。i1i1即可解得l=/bJ(1.8)前面说过，由于第三维的坐标假设是零而且要保证矩阵满秩可逆，所以A矩阵可以写为allai20IA=a2ia220(1J01一由于现在题目没有给出Y的坐标值，所以现在在相机所成的像平面上建立一个坐标系Z_,-Z2来确定Y和Z的关系。同样在其上确立25个点，Zj=(Zii,Zi2,0),i=125。我们来找这个坐标系和物镜所称坐标系的对应比例关系。照相机的成像原理可得靶标的像与物原像的比
12、例为m:n即就是m、，z1:y1=m:n,z2:y2=m:n,且2=Y。n可得yi1=n*zi1/myi2=n*zi2/m。(1.10)现在可以得到Z的坐标值Zi=(zi1,zi2,0)i=125,可以求得Yi=Wi1,yi2,0)=(n*zi1/m,n*zi2/m.0),将计算结果代入(1.8)式一2x212xi1xi200002n*zi1xi1/m12乂1的22x2200002n*zi1xi2/mL=.25Z002x；2xi1xi200x2n*zi2xi1/mi1=002xi1xi22xil002n*zi2xi2/m00002x：2xixi2000002xixi22x221,10-解出4个
13、坐标值，得到矩阵a11a1201A=a21a2200001J方法二在方法一中保持坐标系不变，改为Z=KX(1.12)同理因为我们是讨论平面上的问题所以第三维坐标为零，且为了保证矩阵可逆，所以置k33=1k11k120K=k21k220k31k3211直接求得物坐标系与像坐标系的关系令Wi=|Zi-AXi|25W八Wii1同样运用最小二乘法求MIN(W)解出Ko对W，求导/0得出的25个方程组相加把系数矩阵求逆的到25j=i=1一2x；2xi1xi20|00,02xi1xi200001-i2zi1xi12x22000022Mxi202x；2xi1xi2200x2Zi2xi102xi1xi22x2
14、002Zi2xi20002x：2xixi200002xi1x22x22一j-10-0同样的方法求得K矩阵4.2问题(2)的解法将靶标的像导入软件MATALAB中，由程序qiuyuan.m(见附录4.2)得到五个圆的圆心像素坐标，如图2所示。)C142Vi224Index:0RG&O.O.O5010015020D2503D03504D0450500图2MATALAB程序求得的圆心坐标图2即将每个圆的范围找出导入qiuyuan.m程序可以得到各个圆心的坐标，在将其转换成1024*768像素坐标。五个圆心分别为Z01,Z02,Z03,Z04,Z05。由图2得（这里的单位是像素点）Zoi=(142.9091,250.
