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1、笫二章控制系统状态空间表达式的解2-1线性定常齐次状态方程的解(自由解)一系统的自由解234562-2矩阵指数函数状态转移矩阵78二状态转移矩阵的基本性质(P61)91011三.几个特殊矩阵指数1. 若为对角矩阵则有：(2.17)12证：由定义知1314(2.18)约当矩阵若为3.则有：2(2.19)17则有：4, 若为(2.20)1819根据定义直接计算化矩阵A为标准型法拉普拉斯变换法应用凯莱-哈密顿定理四.矩阵指数的计算(P62 )201. 定义法：按照定义直接计算，适合于计算机实现2. 变换A为约旦标准型法：个互异的特征值3)构造变换阵P :2)计算特征向量：23则有：24设具有个重特征
2、值 则有253 ,拉氏变换法：264.应用凯莱-哈密顿定理求解(化为A的有限项多项式求解)根据：凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton )定理n阶方阵A满足其特征方程，即设n阶方阵A的特征方程为则27在定义(2.7)中，用(1)的方法可以消去A的n及以上的嘉次项，即可用A的(n-1 )次多项式表示,即所以有同理对n阶方阵A ,当 时，可用A的(nl)次多项式表示。281)特征根两两互异：由凯莱-哈密顿定理,可知特征值入和A是可以互换的,因此，入也 满足式(2.22),从而有(3)的计算公式 解之，可得(2.23)292)有个重特征值两端对求1至阶导数得：解方程组可求得302-3线性定常系
3、统非齐次方程的解313233典型输入信号作用下，系统的状态解和输出解。单位脉冲响应34典型输入信号作用下，系统的状态解和输出解。单位脉冲响应35典型输入信号作用下，系统的状态解和输出解。单位阶跃响应36典型输入信号作用下，系统的状态解和输出解。单位阶跃响应37典型输入信号作用下，系统的状态解和输出解。单位斜坡响应38典型输入信号作用下，系统的状态解和输出解。单位斜坡响应39一线性时变齐次状态方程解的特点2-4线性时变系统的解4041只有当时变的系统矩阵A(t)满足如下条件时,时变系统的状态转移矩阵的解可以表示为的指数形式。也就是说，只有A(t)与A( )d满足矩阵乘法的可交换条件时，上述指数表
4、达形式的解 才成立。下面对这个条件给予证明。42将该指数表达形式的右边展开成级数形式，有如果上式是系统的状态转移矩阵,它必须满足状态转移矩阵的性质。于是，将上式的两边对时间取导数，把式(2.39)两边左乘A(t)有：(2.39)(2.40)(2.41)比较式(240)和式(2.41)可知，只有A(t)和A( )d满足乘法可交换条件时，时变系统 的状态转移矩阵可以表示为指数形式。因此,若线性时变连续系统齐次状态方程的解可表示为指数形式，即44但这个条件是很苛刻的，一般是不成立的。45上述A(t)和A( )d可交换条件一般较难以检验是否成立。事实上，根据该可交换条件有上式对于任意时间变量t和tO都
5、成立的充分必要条件是:对于任意的tl和t2,下式成立A(tl)A(t2)=A(t2)A(tl)所以，实际上较易于检验的条件可取代A(t)和A( )d可交换条件，成为时变系统的状 态转移矩阵的解可表示为指数矩阵形式的充分必要条件。46二.线性时变系统齐次状态方程的解当系统没有夕卜部输入作用时，线性时变连续系统的状态方程为齐次状态方程，可表示 为xz(t)=A(t)x(t) ；(2.43)为保证该齐次状态方程解的存在性和唯一性，在系统的时间定义域内,A(t)的各元 素为时间t的分段连续函数。47下面证明时变系统齐次状态方程的解为x(t)= (t,tO)x(tO) (2.44)式中，(t,tO)为时
6、变系统的状态转移矩阵，它满足如下的矩阵微分方程和初始条件。48证明：将解表达式x(t)=(机0)成也)(2.44)代入式(2.43)测有即又在解式(2.44)中令财，有x(tO)= (tO,tO)x(tO)即 (to,to)= 149这就证明满足式(2.45)、(2.46)的(tztO)，按式x(t)= (t,t0)x(t0)(2.44)所求得的x(t), 是齐次状态方程的唯一解。时变系统齐次状态方程的解代表了初始状态x(tO)的转移，其转移特性完全由状态转 移矩阵O)(t,tO)决定。50三状态转移矩阵的基本性质(P73)时变系统的状态转移矩阵的性质如下。1) e(t,t)=i2) 传递性(
7、t2,tl) (tlzto)= (t2,to)3) 可逆性-l(tzt0)= (tOzt)4)51四.非齐次状态方程的解当具有外加输入作用时，其状态方程为如下非齐次状态方程：x/(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) (2.49)该状态方程在初始状态下的解，也就是由初始状态x(tO)和输入作用u(t)所弓|起的系统状态的运动轨迹。52下面将证明当输入u(t)为分段连续时，该非齐次状态方程的解为证明：状态方程的解为显然，有式中,n(t)为待定函数。(2.50)53将所设的解代入该非齐次状态方程的左边，有将所设的解代入该非齐次状态方程的右边，有比较以上两式有即54对上式两端积分，可得故该非齐次
8、状态方程的解为比较线性定常连续系统与线性时变连续系统状态方程的解的表示形式：定常系统时变系统初始状态的影响初始时刻后输入的影响56与线性定常连续系统的状态方程比较可知，线性时变连续系统与线性定常连续系统 的解的结构和形式相同，都为状态的零输入响应和零状态响应的和。线性定常连续系统的状态方程和输出方程的解可视为线性时变连续系统相应的解的一 种特殊形式。在A(t)为时不变时，时变系统的状态转移矩阵O)(t,tO)即为定常系统的状态转移矩阵(t to)。由此可以看出弓I入状态转移矩阵的重要性。只有引入状态转移矩阵,才能使时变系统和定常系统的求解公式建立统一的形式。57五.状态转移矩阵的计算对于线性时
9、变连续系统,状态转移矩阵(t,tO)是如下矩阵微分方程和初始条件z(t,tO)=A(t) (t,tO), (t,tO)|t=O=I的解，它是一个n x n维的关于时间变量t和tO的矩阵函数。为了求得状态转移矩阵O)(t,tO)的表达式，可在时间域内对该矩阵微分方程积分，即有58如果将上式中积分号内的中(1,tO)再按上式展开，则有然后按此法继续迭代下去，并将各展开式代入式，可得59于是，可得一个由无穷项之和组成的状态转移矩阵(t,tO),即上式就是线性时变连续系统的状态转移矩阵的计算公式。在一般情况下，它不能写成封闭的解析形式。在实际应用此公式时，可按一定的精度要求，用数值积分计算方法去近似计
10、算tl时刻的 O)(tl,tO)的值。60当时变的系统矩阵A(t)满足如下条件时,时变系统的状态转移矩阵的解可以表示为的指数形式。也就是说，只有A(t)与A( )d满足矩阵乘法的可交换条件时，上述指数表达形式的解 才成立。61例：求如下时变系统的状态转移矩解：首先检验矩阵A(t)和A( )d与是否可换。为此计算因此A(tl)A(t2)=A(t2)A(tl) tl , t2即矩阵A(t)和A( )d与满足可交换条件，可由指数展开式方法计算状态转移矩阵，即63由于于是64例：求如下时变系统在阶跃输入时的状态变量的值。解：由前例有65由时变系统的状态方程的解表达式，有662-5离散时间系统状态方程的
11、解线性定常离散时间系统的状态方程求解有递推法和Z变换法两种主要方法: 递推法可推广到定常系统和时变系统,(Z9d (gdNL (09(n) (6sd oosd () (9sds (ssd 坦瓠匕空牖*同盛丛qm醐w.:、g! 0N&-B-财贝枪装出雌l)x 扇ffi蔺.1s旺坷卷nc+ws萩 z75比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式：连续系统离散系统初始状态的影响初始时刻后输入的影响76对上述离散系统状态方程的求解公式，有如下几点说明：与连续系统类似，离散系统状态响应也由两部分组成。一部分为由初始状态引起的响应, 与初始时刻后的输入无关，称为系统状态的零输入响应;另一部分是由初始时刻
12、后的输入 所弓I起的响应，与初始时刻的状态值无关，称为系统状态的零状态响应。弓I入状态转移矩阵概念和表示之后，线性连续系统和线性离散系统的状态方程的求解公 式在形式上一致，都由零输入响应和零状态响应叠加组成；只是相应的零状态响应在形 式上略有不同，一为求积分(卷积)L为求和(离散卷积)，但本质是一致的。772. Z变换法已知线性定常离散系统的状态方程为x(k+l)=Gx(k)+Hu(k)对上式两边求Z变换，可得zX(z)-zx(O)=GX(z)+H U(z)于是(zI-G)X(z)=zx(O)+HU(z)用(zI-G)-l左乘上式的两边，有X =(zI-G)-lzx(O)+(zI-G)-lHU
13、(z)对上式进行Z反变换，有x(k)=Z-l(zI-G)-lzx(O)+Z-l(zI-G)-lHU(z)(2.64) 787980例：已知某系统的状态方程和初始状态分别为试求系统状态在输入u(k)=l时的响应。81类似地，可继续递推下去,直到求出所需要的时刻的解为止。2,用Z变换法求解。先计算(zI-G)-l解1.用递推法求解。分别令k=l,2,3,.,则由状态方程有82因此，有83由Z变换，有u(k)=l U(z)=z/(z-l)因此，有X =(zI-G)-lzx(0)+HU(z)84令k=0,1,2,3代入上式，可得852-6连续时间状态空间表达式的离散化线性连续系统的时间离散化问题的数学
14、实质，就是在一定的采样方式和保持方式下, 由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型，并建立起两者的各系数矩 阵之间的关系式。F面分别针对线性定常连续系统和线性时变连续系统讨论离散化问题。86线性定常连续系统的离散化研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化,建立相应的线性定常离散系统 的状态空间模型。假设：等采样周期T；u(t)=u(kT)=常数,kTtw(k+l)T87狙性定常连续系统状态空间模型的离散化，实际上是指在采样周期T下，将状态空间 模型变换成离散系统的如下状态空间模型：88由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言，输出方程为静态的代数方 程，其离散化后应保持不变，即C(T)=C D(T
