《有向线段与向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有向线段与向量（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、有向線段與向量主題 1：有向線段與向量1.有向線段：帶有方向的一線段；包括始點、方向、長度。B (終點 )_如圖，記為 AB 。A 、B 兩點的距離稱為AB 之長，記為AB 。A (始點 )2.向量：具有大小和方向的量。1.表示方法：利用有向線段。(不考慮始點的位置 )a2.零向量：始點與終點重合的有向線段，如AA 、 PP ，通常以 0 表示。3.相等向量：二向量相等大小相等，方向相同。4.向量的加法：abababba(三角形法 )(平行四邊形法 )5.向量加法的基本性質：(1)交換律： ab= ba(2)結合律： (ab) + c = a + (bc)(3)零向量： a + 0 = a =
2、 0+ a(4)可逆性： a + ( a) = 0 = ( a) + a6.向量的減法：baba7.向量的分解： ( O ：任一點 )(a) AB AO OB(b) AB OB OA8.向量的係數積：(1)向量係數積的意義：設a 為一向量， rR ，考慮 a 的 r 倍，便以 r a 表示。(2)若 a0 ，(3) r0 時， r a 與a同向，長度為a 的 r 倍。(4) r0 時， r a 與a反向，長度為a 的 r 倍。(5) r0 時， r a = 0 。(6)若 a = 0 ，則 r a = 0 。9.平行向量： abrR ，使得a = r b ；其中 a ， b0 。重要範例1.由
3、正五邊形的邊，可決定個不同的向量。【解答】 10【詳解】正五邊形的五個邊當中，沒有任何二邊是平行的，故每一邊均可決定二個大小相同，方向相反的向量。因其共有五個邊，故共可決定10 個不同的向量隨堂練習 .現有邊長為 1 的一個正立方體， (1)如果向量 u 的始點與終點皆為此正立方體的頂點，且 u3 ，則此正立方體共可決定個不相等的向量 u 。(2)若向量 a 的起點與終點都是此正立方體的頂點，且a1，則共有個不相等的向量 a 。【解答】 (1) 8(2) 6【詳解】 (1)所求為 AG ，GA ， EC ，CE ，BH ，HB ， DF 及FD ，共 8 個(2) a AB ， BA ； AD
4、 ， DA ； AH ， HA共有 6 個不相等的向量 a隨堂練習 .正五邊形 ABCDE 中的 5 個頂點，可決定個不同的向量。【解答】 20【詳解】於正五邊形的五個頂點A，B，C，D，E 中任取二點，可構成10 個線段 AB ， AC ，AD ， AE ， BC ， BD ， BE ， CD ，CE ， DE ，而每個線段可產生二個向量，如：AB 與 BA ，故可產生 20 個不同的向量2.如下圖， A，B，C，D， E， F 共線且 ABBCCDDEEF ，則下列敘述何者正確？(A) AB1 AF (B) AB 1CF (C) BE3 DB (D) AB 2DE 3BC (E) BD C
5、B 3 AF5325【解答】 (A)(B)(C)(D)(E)【詳解】 (A) AB ， AF 同方向且 5 ABAF AB = 1 AF5(B) AB，CF 同方向且 3AB=CF AB =1 CF3(C) BE， DB 反方向且 2BE= 3DBBE=3 DB2(D) AB 2DE = AB +2AB =3AB =3BC(E) BDCB=2AB +BC=2 AB+AB =3AB =3(1 AF )= 3 AF553.就平行四邊形 ABCD 而言，下列敘述何者正確？(A) AB = CD(B) AB = CD(C)AB + AD = AC(D) AB DC =0(E) AB + BC + CD
6、 + DA = 0 。【解答】 (B)(C)(E)【詳解】 (A) 如圖，應是 AB = DC(B) AB=DC AB= DC =CD(C) AB+AD=AB+BC=AC(D) AB DC = AB AB =0 （不得寫作 0）(E) AB+ BC+CD+DA=AA=0隨堂練習 .P 是平行四邊形ABCD 同平面的任一點，證明：PAPCPBPD 。【證明】 ABCD 為平行四邊形BACDBPPACPPDPAPBPDPCPAPCPBPD4.如圖：長方體 ABCD - EFGH 中， ABa ， ADb ， AEc ，試以 a ， b ， c 表示下列各向量： (1) AG(2) BH(3) CE
7、(4) DF(5) EG【解答】 (1) abc(2)abc(3)abc(4) abc(5) ab【詳解】如圖：向量可作任意的平行移動ABDCEFHGa ， ADBCEHFGb ， AEBFDHCGc(1) AG = AB + BC + CG = abc(2) BH = BA + AD + DH =abc(3) CE = CD + DA + AE =abc(4) DF = DC +CB + AE = abc(5) EG = EF + FG = ab5.民國九十年九月十七日納莉襲臺，基隆河河水暴漲，河水流速v 水10 m / sec，瓜農阿貴被困在河畔甲處，英勇的消防員小綠綠欲從甲處的對岸乙處駕
8、駛救生艇直接渡過基隆河接回瓜農阿貴，如下圖所示，請問小綠綠可以下列 (1)(5)方式中，何種方式渡河才能循營救路線順利救回阿貴？【解答】 (1)(3)(5)(1)(2)(3)(4)(5)【詳解】 (1)正確：加入水流速度(2)錯誤：由 (3)可知錯誤(3)正確：加入水流速度(4)錯誤：由 (1)可知錯誤(5)正確：加入水流速度主題 3：向量的內積1.定義：設 a,b0 ，且為其夾角 (0) ，則定義 a 與 b 的內積為 a ba b cos二向量經過內積運算後為一數，不再是向量。2.性質：設 a ， b ， c 為任意三向量，R ，則：(1) a b b a 。 (交換律 )(2) c (a
9、 b) c a c b 。 (分配律 )(3) (a b)( a) b a( b) 。(4) a a a2a 0 。， 等號成立(5) a,b0， a / brR， r0，使得 ar b 。(6) aba b0 。重要範例1. a ， b ， c 為平面上三個非零向量，請問下列何者正確？(A) abab(B) a b( a b ) 2(C)若 ab ， b / c ，則 ac(D) 若 abab ，則a b(E)若( a b ) ca ( b c )，則 a / c 。【解答】 (A)(C)(D)(E)【詳解】 (A) 對。 ( a b ) 2a222 a b222b( ab )( a2 a
10、b b )2( aba b )2( a ba b cos )2 ab(1cos )0（1cos1）( a b ) 22b a b )a b 得 ( a(B)錯。例： a (1，0)， b(0，1)，則 ab1，但 ( a b ) 20(C)對(D)對。若 a22222 a b222 a bba bababa ba b a b 0，得 a b(E)對。 ( a b ) cc ， a ( b c )a( a b ) ca ( b c )ca ，得 ca ，即 a / c 。2.設 a 3， b2，且 a 2b21 ，求 3a b。【解答】 79【詳解】 a 2b22b ) 2122( a 2 b ) ( aa 4
