集合总复习要点

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1、 集合总复习要点 第一章 集 合 1.1 集合的含义与表示 1、 集合与元素 （1） 元素 一般地， 我们把探讨对象称为元素， 元素常用小写字母 a,b,c表 （2） 集合 把一些元素组成的总体叫做集合（简称集） 集合通常用大写字母表示 A， B，C， 表示 集合的概念是一种描述性说明， 因为集合时数学中最原始的， 不加定义的概念， 这与我们初中学过的点， 直线等概念一样， 都是用描述性语言表述的 留意组成集合的对象的广泛性， 凡是看得见的、 摸得着的、 想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象 集合时一个整体， 已暗含全部全部全体 的含义。 因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对

2、象的全体， 而非个别对象 构成集合的对象必需是确定 的， 其中确定 是指构成集合的对象具有明确的特征，这个特征不是模棱两可的 集合中的元素是互不相同的， 即相同的元素归入集合时， 该元素只能出现一次 例 1 下列每组对象能否构成一个集合 （1） 闻名的数学家 （2） 某校 2011 年在校的全部高个子同学 （3） 不超过 20 的非负数 （4） 方程092=x在实数范围内的解 （5） 直角坐标平面内第一象限的一些点 （6）3的近似值的全体 2、 元素与集合的关系有属于与不属于两种： 读作， 记作不属于集合元素读作， 记作属于集合元素_,_,AaAaAaAa 且只有一种成立这两种状况中必有一种与

3、， 在与可知对任何元素的确定性，中的元素。 依据集合中是不是集合aA取决于A与）（AaaAaAaAa1 之间的关系示集合与集合间的关系， 不能用来表 是表示元素与集合之 ） 符号2（ a a aaaaa， 他们之间联系为元素只有一个表示一个集合， 该集合表示一个元素，的区分和联系： 与）（3 例 2 集合 A 是由形如),(3ZNZmnm+的数构成的， 推断321是不是集合 A 中的元素 3、 常用数集 （1） 自然数集： 全体非负整数的集合， 也称为非负整数集， 记作 N （2） 正整数集： 非负整数集内解除 0 的集合， 记作 N+或 N+ （3） 整数集： 全体整数的集合， 记作 Z （

4、4） 有理数集： 全体有理数的集合， 记作 Q （5） 实数集： 全体实数的集合， 记作 R 例 3 下列说法正确的个数是 （） 集合 N 中最小的数是 1； 若Na ， 则Na ； 若NbNa,， 则ba +的最小值为 2； 全部小的正数组成一个集合； RQ3+ N0+ N4- A 0 B 1 C 2 D 3 4、 集合的分类 集合可以依据所含元素的多少分为三类： 有限集、 无限集、 空集 （1） 含有有限个元素的集合叫做有限集。 特点： 集合中元素的个数是可数的 （2） 含有无限个元素的集合叫做无限集合。 特点： 集合中元素的个数是不行数的 （3） 不含任何元素的集合叫做空集。 如： 方程

5、052=+x在实数范围内的解为空集， 记作 例 4 推断下列集合属于有限集、 无限集、 或空集的哪一类 （1） 不超过 10 的非负偶数的集合 （2） 大于 10 的全部自然数组成的集合 （3） 方程042=x的解集 （4） 在平面上到定点 A、 B 距离相等的点的集合 （5） 方程012=+x的解集 5、 集合元素的三种属性： 确定性、 无序性、 互异性 例 5 推断下列说法是否正确？ 并说明理由 （1） 参与 2010 年广州亚运会的全部国家构成一个集合； （2） 将来世界的高科技产品构成一个集合； （3） 1,0.5,3/2,1/2 组成的集合含有四个元素； （4） 高一（三） 班个子高

6、的同学构成一个集合 例 6 已知集合 33,) 1( , 222+=aaaaA， 若A1， 求实数a的值及集合 A 6、 集合的表示方法： 自然语言法、 列举法、 描述法、 图示法 例 7 列举法表示下列集合： （1） 已知集合+=ZxNxM16， 求 M （2） 方程组=+_02yxyx的解集 （3） 由),(Rbabbaa+所确定的实数集合 例 8 用描述法表示下列集合 （1） 全部正偶数组成的集合； （2） 方程022=+x的解的集合； （3） 不等式564x的解集； （4） 函数32 += xy的图像上的点集 例 9 用适当的方法表示下列集合 （1） 比 5 大 3 的数 ； （2）方

7、 程0136422=+yxyx的解集；（3）二次函数102= xy的图像上的全部点组成的集合 1.2 集合间的基本关系 1、 子集 对于两个集合 A 与 B， 假如集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素， 我们说集合 A 含于集合 B， 或说集合 B 包含集合 A， 记作_(集合 A 时集合 B 的子集） 留意： （1）A 是 B 子集 的含义是： 集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素， 即由随意Ax能推出Bx； 当 A 不是 B 的子集时， 我们记作_； （3） 任何一个集 合是它本身的子集， 因为对于任一个集合 A， 它的每一个元素都属于本身， 记作_ 例 1 设集合

8、, 3 , 1 1, 1,2+=aaBaA， 且BA ， 求a的值 2、 集合相等 假如集合 A 中任何一个元素都是集合 B 中元素， 同时集合 B 中的任何一个元素都是集合 A 中的元素， 我们就说集合 A 等于集合 B， 记作 A= B， 读作A 等于 B 只要构成两个集合的元素是一样的， 我们就称这两个集合是相等的， 当已知两个集合相等时， 这两个集合的元素是完全相同的： 个数相等， 对于其中一个集合的任一个元素，在另一个集合中也都可以找到这个元素。 下列各组中的两个集合是否相等？ 为什么？ 4 , 3） y= RxxyxRxxy=,32 , 7（和2 , 723 , 4) 1 (22和

9、）（）（和 3、 真子集 假如集合 A 时集合 B 的子集， 并且 B 中至少有一个元素不属于 A， 那么 集合 A 叫做集合 B 的真子集 例 2 由2， a， b 三个元素构成的集合与由2a， 2， b 三个元素构成的集合时同一个集合， 求 a， b 的值 例 3 集合ZkkyyYZnnxxX=, 14, 12， 试证明 X=Y 例 4 设集合, 8 , 2 43, 2,2+=aaBaA， B 是 A 的真子集， 求a的值 4、 元素与集合、 集合与集合之间的关系 元素与集合的关系式属于与不属于的关系， 用符号_表示； 集合与集合之间的关系式包含、 不包含、 真包含、 相等的关系， 用符号

10、_表示 例 5 写出集合 2 , 1 , 0的全部子集， 并指出其中哪些是它的真子集 6、 有限集合的子集的个数 个非空真子集个元素的集合有个非空子集个元素的集合有个真子集个元素的集合有个子集n个元素的集合有2-2) 4 (1 -2) 3 (1 -2) 2 (2) 1 (nnnnnnn 例 6 同时满意： 5 , 4 , 3 , 2 , 1有的非空集合M则，MaMaM-6,（） A 16 个 B 15 个 C 7 个 D 6 个 例 7 （1） 已知集合ABmxmxBxxA+=且, 112,43 的取值范围求实数m （2） 本 例（1） 中 ， 若将 ABAB,其他条件不变， 则实数 m 的取

11、值范围是什么？ 例 8 设集合RaaxaxxBxxxA=+=+=, 01) 1( 2,04222， 假如, AB 求实数a的取值集合 例 9 已知集合 22,21=xxBaxxA， 是否存在实数a， 满意BA ?若存在， 求出a的范围 1. 3 集合的基本运算 1、 并集 由全部属于集合 A或属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的并集， 记作 A B； 例 1 设是顿角三角形x，是锐角三角形xxBxA=， 求 A B 例 2 已知集合 0) 3() 2(0) 2() 1(=+=+=xxxBxxxA， 求集合 A B 2、 交集 由属于集合 A 且属于集合 B 的全部元素组成的集合叫

12、做 A 与 B 的交集， 记作 A B 例 3 设 35),(64),(=+=xyyxBxyyxA， 求 A B 3、 全集 一般的， 假如一个集合有我们所探讨问题中涉及的全部元素， 那么就称这个集合为全集， 通常记作 U 例 4 已知全集 U=R， 则正确表示集合 01 , 0 , 12=+=xxxNM和的关系的 Venn 图是什么？ 请你画出图 补集 对于一个集合 A 由全集 U 中_ 称为集合 A 相对于全集 U 的补集， 简称为集合 A 的补集 例 5 设集合5 , 4 , 3 , 2 , 13 , 2 , 1 4 , 3 , 2,=BAU， 则= )(BACU_ 4、 集合的运算性质

13、及运用 A A=A A A =，A =A A B=B A A B=B A =)(,)(ACAUACAUU ABABABAABABCACBACBCACBACAACCUUUUUUUU=),)()( 例 6 设A B=B， 求实数a的取值范围 04) 2( 2,08222=+=+=axaxxBxxxA， 其中Ra ， 假如 例 7 若集合 41,32=xxxBxxA或， 则集合 A B 等于_ 集合综合练习题 8 , 13 , 2 9 , 6 , 4)()(,)(,101=BCACBABACUBUAUUUU且，的正整数小于、 已知全集 （1） 求集合 A 与 B （2） 求 )()(BACUCZR(其中 R 为实数集， Z 为整数集） 2.已知集合 52,2312=xxxBmxmxA或， 是否存在实数 m， 使 AB？ 若存在， 求实数m 的取值范围； 若不存在， 请说明理由 3.已知 51,32=+=xxxBaxaxA或。 （1） 求若 A B=， 求a 的取值范围；（2） 若 A B=R， 求 a 的取值范围 4 定义集合运算： ByAxyxxyzzBA+=,),(。 设集合 1 , 0 3 , 2,=BA， 则集合BA 的全部元素之和为_ 5 集合 1 , 0 , 1=P， 集合 3 , 2 , 1 , 0=Q， 定义QPyQPxyxQP=,),(,则 QP的元素的个数为_