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1、优化与决策多目标线性规划的假如干解法与MATLAB实现指导教师：XX教授学生某某:XX多目标线性规划的假如干解法与MATLA实现丁宏飞西南交通大学 数学学院 某某某某610031摘要：求解多目标线性规划的根本思想大都是将多目标问题转化为单目标规划，本文介绍了理想点法、线性加权和法、最大最小法、目标规划法，然后给出多目标线性规划的模糊数 学解法2，最后对每种解法给出例子，并用Matlab软件加以实现。关键词：多目标线性规划 Matlab 模糊数学Some solutions of Multi-objective linearprogram ming and realized by MatlabD
2、ing Hon gfeiSchool of Mathematics, Southwest Jiaot ong Uni versity ,Che ngdu, 610031Abstract: The basic ideas to solve Multi-objective lin earprogram mingaretransformingthe multi-objective problem into single-objectiveplanning, This paperintroduces the ideal point method, linear weighted and law, ma
3、x-min method, the goal program mingmethod,the n give nmulti-objectivelin earprogram mingFuzzymathematics method, fin ally give examples of each method and used Matlab software to achieve.Key words: Multi-objective Lin ear Programmi ng Matlab fuzzy mathematics一. 引言多目标线性规划是多目标最优化理论的重要组成局部，由于多个目标之间的矛盾性
4、和不可公度性，要求使所有目标均达到最优解是不可能的，因此多目标规划问题往往只是求其有效解（非劣解）。目前求解多目标线性规划问题有效解的方法，有理想点法、线性加权和法、最大最小法、目标规划法，然而这些方法对多目标偏好信息确实定、处理等方面的研究工作较少，本文也给出多目标线性规划的模糊数学解法。二. 多目标线性规划模型多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数，且目标函数和约束条件全是线性函数，其数学模型表示为：乙c11 X1c12X2 GnXnZ2c21 X1C22X2八c2n Xnmax: :约束条件为:ZrC1 X碎2CrnXa1 x812X2a1nxnbia：1 xa：2 X2a2nXnb
5、2am1X1am2X2amnXnbmNX, 乂 n02假如1式中只有一个 z C1X1ci2x2CnXn，如此该问题为典型的单目标线性规划。我们记：A (aj)mn，C（Cj）r n，b（gb2,，）丁，X（XX?,，Xn）T，Z (乙上2，,Zr)T.如此上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为max Z Cx约束条件:Ax bx 03三. MATLA优化工具箱常用函数3在MATLAB件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog、求有约束非线性函数的fmincon、求最大最小化问题的 fminimax、求多目标达到问题的fgoalattain 等,它们的调用形式分别为：
6、 .x,fval=lin prog (f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)f为目标函数系数,A,b为不等式约束的系数，Aeq,beq为等式约束系数，lb,ub为x 的下限和上限，fval 求解的x所对应的值。算法原理：单纯形法的改良方法投影法 .x,fval = fmincon (fun,xO,A,b,Aeq,beq,lb,ub fun为目标函数的 M函数，x0为初值,A,b为不等式约束的系数，Aeq,beq为等式约 束系数,lb,ub 为x的下限和上限，fval 求解的x所对应的值。算法原理：基于 K-T Kuhn -Tucker丨方程解的方法。 .x,fval =fminimax (f
7、un,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)fun为目标函数的 M函数，x0为初值,A,b为不等式约束的系数，Aeq,beq为等式约 束系数,lb,ub 为x的下限和上限，fval 求解的x所对应的值。算法原理：序列二次规划法。 .x,fval =fgoalattain(fun,xO,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)fun为目标函数的M函数，x0 为初值,goal变量为目标函数希望达到的向量值wight参数指定目标函数间的权重,A,b为不等式约束的系数，Aeq,beq为等式约束系数lb,ub为x的下限和上限，fval 求解的x所对应的值。算法原理：目标达到法。四
8、. 多目标线性规划的求解方法与MATLA实现在3中，先求解r个单目标问题：minZj(x), j 1,2,r，设其最优值为Z*,称x D JjZ* (Z；,Z；,Z；)为值域中的一个理想点，因为一般很难达到。于是，在期望的某种度量之下，寻求距离 Z*最近的Z作为近似值。一种最直接的方法是最短距离理想点法，构造评价函数(Z)然后极小化 Z(x)，即求解Z(x)并将它的最优解x作为3在这种意义下的“最优解。例1 :利用理想点法求解maxfjx) 3x.| ；x； max f；(x) 4x1 3x；s.t ；x1 3x；18；x1 x；10x1, x；0解：先分别对单目标求解: 求解fj(X)最优解
9、的MATLAB序为 f=3;-2; A=2,3;2,1;b=18;10; lb=0;0; x,fval=li nprog(f,A,b,lb)求解f2(X)最优解的MATLA醉序为 f=-4;-3; A=2,3;2,1;b=18;10; lb=0;0; x,fval=li nprog(f,A,b,lb)即最优解为24.于是得到理想点：12, 24. 然后求如下模型的最优解mnin f(x)(x) 122 比(刈 242st 2为 3x2182为 x?10x2 0MATLAB序如下： A=2,3;2,1;b=18;10; x0=1;1; lb=0;0;x=fmi neon (-3*x(1)+2*x
10、(2)-12)A2+(4*x(1)+3*x (2)-24)A2)A(1/2) ,x0,A,b,lb,)如此对应的目标值分别为f/x) 9.7172, f2(x) 19.0536.在具有多个指标的问题中，人们总希望对那些相对重要的指标给予较大的权系数， 因而 将多目标向量问题转化为所有目标的加权求和的标量问题， 基于这个现实，构造如下评价函 数，即卩rminZ(x)iZi(x)x Di 1将它的最优解X*作为3在线性加权和意义下的“最优解。i为加权因子，其选取的方法很多，有专家打分法、容限法和加权因子分解法等例2：对例1进展线性加权和法求解。权系数分别取1 0.5,2 0.5解：构造如下评价函数
11、，即求如下模型的最优解。min0.5 (3为 2屜)0.5 ( 4% 3x2)s.t 2x1 3x2182x1 X210X1,X20MATLAB序如下: f=-0.5;-2.5; A=2,3;2,1; b=18;10; lb=0;0; x=li nprog(f,A,b,lb)如此对应的目标值分别为f/x) 12, f2(x)18.在决策的时候，采取保守策略是稳妥的，即在最坏的情况下，寻求最好的结果，按照此想法，可以构造如下评价函数，即(Z) max Zi1 i r然后求解：min Z(x) minmaxZi (x)x Dx D 1 i r并将它的最优解x*作为3在最大最小意义下的“最优解。例3
12、:对例1进展最大最小法求解：解：MATLAB序如下，首先编写目标函数的M文件：fun ctio n f=myfu n12(x)f(1)=3*x(1)-2*x(2);f(2)=-4*x(1)-3*x(2); x0=1;1;A=2,3;2,1;b=18;10;lb=zeros(2,1); x,fval=fmi nimax(myfu n12,xO,A,b,lb,)fval = -12 -18如此对应的目标值分别为f/x) 12, f2(x) 18.Appr Z(x) Z04x D并把原多目标线性规划3minZ(x)称为和目标规划4相对应的多目标线性规划。 x D为了用数量来描述4，我们在目标空间 E
13、r中引进点Z(x)与乙之间的某种“距离r0 * 2 1/2DZ(x), Z i(Zi(x) Zi)i 1这样4便可以用单目标 min DZ(x), Z0来描述了。x D例4:对例1对进展目标规划法求解：解：MATLAB序如下，首先编写目标函数的M文件：fun ctio n f=myfu n3(x)f(1)=3*x(1)-2*x(2);f(2)=-4*x(1)-3*x(2);b=18,10; lb=zeros(2,1); goal=18,10;weight=18,10;x0=1,1;A=2,3;2,1; x,fval=fgoalattai n( myfu n3,xO,goal,weight,A,
14、b,lb,)fval = -12-18如此对应的目标值分别为f,(x)12, f2(x)18.4由于多目标线性规划的目标函数不止一个，要想求得某一个点作 X* ,使得所有的目标函数都达到各自的最大值,这样的绝对最优解通常是不存在的。因此，在具体求解时，需要采取折衷的方案，使各目标函数都尽可能的大。模糊数学规划方法可对其各目标函数进展模糊化处理，将多目标问题转化为单目标，从而求该问题的模糊最优解。Ax b具体的方法为：先求在约束条件：下各个单目标Zi,i 1,2,-r的最大值Z；和x 0最小值Zi，伸缩因子为dj Z* Zi ,i 1,2，rmaxZn得到j 1aqXjdiZ* di i 1,2，rbk,k 1,2，m50,%必，Xn0式5是一个简单的单目标线性规划问题。最后求得模糊最优解为：Z* C(x
