《数学创造进入课堂》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学创造进入课堂（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学创造进入课堂数学“再创造”的教学策略石循忠摘要：从历史上数学创造的角度，探讨了数学课堂中实施“再创造”的教学策略.关键词：数学“再创造” 动机 猜想 数学化 数学应用荷兰著名数学教育家汉斯弗赖登塔尔反复强调，学习数学惟一正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来.然而，数学教材中“定义引理定理推论”的逻辑叙述方式，掩盖了数学创造的思维过程.因此，要实现“再创造”的教学策略，最好是在数学发展史中去寻找材料，从数学创造来看数学“再创造”.运用数学史的研究成果为数学教育服务，理论上已有不少成果问世.但在实践方面远不如理论上成熟.如何让数学创造进入课堂，探讨数学“
2、再创造”的教学策略，形成系统的、可操作的教学模式，乃是一个值得研究的课题.本文拟在这方面作一番尝试，遵循学生的认识规律，提出数学“再创造”的四条教学策略.1.激发学生从事数学“再创造”的动机文5将数学创造的动机分为四类：直接应用、间接应用、潜在应用、内部应用.实质上，归纳起来，不外乎两个方面：外部动机与内部动机.外部动机来自日常生活、生产等问题对数学家的的挑战，如九章算术中的问题，无理数的引进，微积分的创立均属此列；内部动机来自数学活动中人们对数学美的追求，数论、虚数、非欧几何、群论都是出于内部动机而创立的.教学中我们借鉴数学创造的动机分为外部动机和内部动机的思想，从数学的实际应用价值与数学自
3、身魅力两方面来激发学生从事数学“再创造”的动机.1.1外部动机数学在各个领域都有广泛的应用.某一数学知识在生产、生活中的应用价值，就成为激发学生学习这一知识的最好材料.教材的编写者在这方面也有所考虑，如义务教育几何第一册的“引言”部分的四个问题均属生产的实例.但更多情况下，教材中没有现成的材料可用，这就要求教师选择和设计恰当的材料，激发学生“再创造”的动机.我们认为，至少有以下三种途径设计实际问题引入新知识：第一，历史材料的改造.把历史材料进行处理与加工，使之适合某一层次学生的“再创造”.如“等比数列”的教学就可运用改造后的“在64格棋盘上按倍增方式放满小麦”，“一尺之棰，日取其半，永世不竭”
4、等材料引入课题；第二，应用问题的前移.即把知识的应用问题提到知识之前出现，激发学生的学习动机.导数的应用之一是求最值问题，教材中往往安排在导数之后，教学时可把最值问题提前作为引入导数的材料；第三，现实材料的引进.社会的迅速发展迫切要求教师把生活、生产的现实材料及时引入课堂，充实或改造教学内容.如“我国经济发展每十年翻一番，要求每年的增长率应为多高”就是引入“幂函数”的良好材料.1.2内部动机学生对数学美的追求将成为他们进行数学“再创造”的强烈动机.数学美的基本特性有和谐性、简单性和奇异性.数学知识当中蕴涵着反映以上基本特征的丰富美学因素.为了追求和谐美，人们将每个数学分科进行公理化，且公理体系
5、必须满足相容性，或对同类问题要求统一的数学表达式；为了追求简单美，人们发明了大量简洁、优美的数学符号，创造了具有“世界普适性”的数学语言，并尽量把复杂问题进行化简；为了追求奇异美，人们总是研究一些奇特的、新异的数学对象，如不动点、奇点、拐点等特殊点，或一个新的数学理论，一条新的数学定理，一种新的算法、证法.教学中一般是在新旧知识的联系和矛盾上切入新知识，使学生面对问题，从而激发学生“再创造”的动机.2.注重猜想在数学“再创造”中的作用数学上的所有创造都是从猜想开始的.在数学“再创造”过程中，猜想同样很重要.但传统的数学教学往往忽视这一点，片面强调演绎的作用，偏向于培养学生的逻辑思维能力，这对学
6、生创造能力的培养是很不利的.波利亚指出：“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置”.7学生一般是通过参与数学实践以及运用合情推理来建立数学猜想的.2.1数学实践数学来源于实践，学生学习数学时也离不开实践.在数学实践中，观察与实验是最常用的方法，也是学生建立数学猜想的重要途径，而且二者往往是紧密配合的.通过观察与实验，学生把握客观事物的空间形式或数量关系，凭借直观、直觉与想象发现规律，建立猜想.如圆周角的教学，明确圆周角与圆心三种位置关系是定理证明的关键，教学中可演示教具(或运用计算机作图模拟演示)，在图形的连续变化中引导学生观察，把握三种不同的
7、位置关系.一种具体的实验方案是：在一块木板上画一个圆，把一根橡皮筋的两端分别钉在圆的适当两点上，然后用一支铅笔紧靠橡皮筋，使得笔尖在圆上滑动.2.2合情推理合情推理，又称似真推理，是一种合乎情理、好似为真的推理.它是符合大众心理、体现群体意识的思维方式，这一点可从两方面得到支持.第一，地域、时代和风格都不同的数学家会创造出同一数学理论，如勾股定理、杨辉三角、微积分和非欧几何就是很有力的例证；第二，教学中我们发现，同一年龄层次的学生在不同地点、时间，在不同教师的引导下，会发现(“再发现”)同一数学结论.合情推理最基本、最重要的形式是归纳与类比，它们是“再创造”教学中学生建立猜想的常用推理方法.这
8、里不妨略举一运用类比的实例，如推导旋转体的体积公式时，就可与曲边梯形面积计算公式进行类比.曲边梯形可理解为无限个“狭长矩形的拼接”，用定积分来计算.类似地，旋转体则可看作是无限个“圆薄片的叠加”，因而也可用定积分来求之.3.引导学生进行数学化的“再创造”猜想得到的结论如何表述，如何精确化，还得有一套数学符号来实现结论的数学化；再者，猜想得到的结论是否正确，最终还得依靠数学证明来支持，即要把结论纳入一个公理系统之中，完成公理化的工作.传统的数学教学往往让学生学习现成的形式体系和公理系统，学生难以理解.弗赖登塔尔认为：“与其让学生学习公理体系，不如让学生学习公理化；与其让学生学习形式体系，不如让学
9、生学习形式化.一句话，与其让学生学习数学，不如让学生学习数学化.”由此可见，数学化包括形式化和公理化两方面的工作.3.1形式化的“再创造”形式化就是把数学研究对象的某些特征进行抽象，用数学语言、图形或模式表达出来，建立数学模型.人们用a+b=b+a表示加法的交换律，欧拉且一个简单的“欧拉图”刻划“七桥问题”，柯西用“语言”来描述函数的极限，均属形式化的工作.形式化是很困难的，有些工作只有大数学家经过长期的努力才能完成(如语言).但对一些比较简单的形式化工作，还是有必要让学生来“再创造”一回(哪怕是象征性的“再创造”)，使学生领会到数学的抽象性，体会到数学家形式化工作的艰难.如函数概念的教学，先
10、分别建立圆面积与半径，路程与时间，成本与产量，邮资与重量等具体的变量间的关系式，然后分析这些解析式(必要时联系相应的图象)的共同特征，对变量的变化范围，变量间的依存关系进行抽象，并借助适合的数学符号，建立一般的函数定义.3.2公理化的“再创造”公理化是一个数学分科趋于成熟的标志.公理化比形式化更困难，欧几里德的几何原本尽管存在一些逻辑问题，但在当时是很了不起的成就了，后希尔伯特写几何基础，那更是匠心独运，规模空前.要求学生对整个学科进行公理化的“再创造”是不现实的，但总可在一些较小的范围内，局部地完成公理化的工作，并逐步扩大范围，使公理化的程度越来越高.历史上人们对平行公理(第五公设)思考得最
11、久，但并不能由其他公理来证明它，只是找到了一些与之等价的命题作为平行公理.在平行线这一知识单元的教学中，就可让学生尝试公理化的工作.对平行公理的选择至少有两种不同方案.第一，以“过直线外一点有且只有一条直线与之平行”为公理；第二，以“如果两直线都与第三条直线平行，则这两条直线也平行”为公理.公理化的“再创造”与其说让学生学习公理，倒不如说让学生树立公理化意识，领会数学的严谨性，提高数学素质.4.实现数学应用从“再创造”到创造“应用毕竟是数学创造的主要动力”.一种数学理论的发展前景归根结底取决于它的应用价值(近期的或远期的).应用是数学创造的目的和归宿，也是检验数学理论正确与否的惟一标准.在“再
12、创造”的数学教学中，数学应用同样具有强大的诱惑力.学生从事数学应用的活动，在很大程度上都属“再创造”的层次，但也不乏数学创造的成分.4.1数学应用的“再创造”数学应用的“再创造”就是学生解决前人(或教师)已经解决的数学问题或实际问题.学生课后做练习题是必要的，可巩固所学知识，加深对知识的理解.课堂上学生的“再创造”往往是在教师的指导下，同学之间互相协作完成的.课后布置一些类型相似、难度相当(或更浅)的习题，让学生各自独立解决，那才是真正的“再创造”，学生真正扮演一回数学家的角色，做起数学家的工作来.除习题演练外，数学应用的“再创造”还应包括问题解决的内容.问题解决即运用数学知识解决一些非常规的
13、，具有开放性、挑战性的数学问题或实际问题.如“当a为何整数时，x2ax+36或在整数范围内分解因式？”，“正方体的截面是什么图形？”，“如何识别有奖游戏的奥秘？”等都是较好的数学问题.在处理习题和问题的关系上，我们赞成“以习题演练为基础，以问题解决为主导”的观点.4.2从“再创造”到创造数学“再创造”仅是一种教学策略，具有很强的教育功能，而学术价值较略.“再创造”本身没有多大实际意义，而培养学生的创造意识与创造能力，希望他们日后能有所创造发明，才是“再创造”的真正目的.今天的“再创造”将促成明天的创造，主观意义的“再创造”将会导致客观上的创造.很难想象一个从未从事过“再创造”的学生将来能取得数
14、学创造的成就.数学应用的创造可从内部应用和外部应用两方面来进行.内部应用是运用数学理论解决本理论体系或其他数学领域内的问题，大部分的理论型数学论文均属此列.外部应用即应用数学理论解决生产、生活中的实际问题或其他学科的理论问题，数学建模就是典型的外部应用.较高层次的数学建模(如大学生数学建模)不再是数学应用的“再创造”，而完全算得上数学应用的创造了.如社会规划问题、经济分析问题、模具加工问题等，建立一个优良的数学模型就是一项可观的科研成果.以上四条策略之间有着紧密的依存关系，它们总是按部就班、循环往复的，既可在一堂课内完成，也可在一个教学阶段上完成.然而，四条策略各自的地位和作用不尽相同.在整个数学“再创造”过程中，动机是前提和基础，猜想是关键，数学化是重点，数学应用则是目的和归宿.因此，数学“再创造”的教学策略是一整套系统的教学模式，具有广泛的适用范围.
