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1、湖北省武汉十五中等三校联考2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）湖北省武汉十五中等三校联考2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单选题（每小题5分，共60分）1.若且，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ；c=0时；因为 所以，选D.2.在中，则的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理将中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可【详解】解：在中，由正弦定理得：，或，或，为等腰或直角三角形，故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的形状判断
2、，着重考查正弦定理与二倍角的正弦公式的应用，属于中档题3.中，角所对的边分别为，已知，则 （）A. 或B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】由的度数求出的值，再利用正弦定理求出的值，由小于，得到小于，即可求出的度数【详解】解：，由正弦定理得：，则故选：C【点睛】本题主要考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题。4.已知点,，则向量在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：考点：向量数量积的运算和投影的概念5.已知的内角所对的边分别为，若，则外接圆的半径为（）A. B. C. 4D. 6【答案】D【解析】【
3、分析】根据题意，设外接圆的半径为，由正弦定理可得，据此整理，即可得的值，由的值计算可得的值，由正弦定理计算可得答案【详解】解：根据题意，设外接圆的半径为，则有，则，中，则，即，又由，可得：，则有，即；故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦公式的应用，关键是求出的值，考查计算及转化能力，属于中档题。6.如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，求山高 （）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，中， ，由正弦定理可求，根据可得结果【详解】解：设，中，米故选：A【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，求出是解题
4、的关键,考查计算能力及转化能力，属于中档题。7.若正数满足，则的最大值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知可整理得：，解得，将所求式子转化后利用基本不等式即可计算得其最大值【详解】解：正数满足，解得，当且仅当时，等号成立，的最大值为故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题8.设四边形为平行四边形，若点满足，则（）A. 20B. 15C. 9D. 6【答案】C【解析】【分析】根据图形得出，结合平面向量的运算及向量的数量积定义即可求解【详解】解：四边形为平行四边形，点满足，根据图形可得：，又，所以，又，故选：C【点睛】本题主要考
5、查了平面向量的运算，数量积的定义，还考查了计算能力及转化能力，属于中档题。9.设是钝角三角形的三边长，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】解； 由题意可得任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，有 m+m+1m+2，m1再由m+1m+m+2可得 m3综上，1m3，故选B10.若是的重心，分别是角的对边，则角 （）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】是的重心，可得，由，可得，不妨取，可得再利用余弦定理即可求解【详解】解：是的重心，不妨取，可得，为的内角，则故选：C【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档
6、题11.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值为（）A. B. 5C. D. 6【答案】A【解析】【分析】如图所示，建立直角坐标系可得，设 （）可得，其中利用三角函数性质即可得出最值【详解】解：如图所示，建立直角坐标系，设 （）则，其中，当且仅当时取等号故选：A【点睛】本题主要考查了圆的参数方程应用，还考查了辅助角公式、三角函数性质及计算能力，属于中档题12.已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得函数为奇函数且为增函数，进而可以将原问题转化为对任意实数恒成
7、立，利用基本不等式可得的取值范围【详解】解：函数的定义域为，关于原点对称，有，则奇函数，又在R上为增函数，在R上为增函数，则在R上为增函数，若不等式对任意实数恒成立，则，即对任意实数恒成立，即，又由，则，则有最小值， 若对任意实数恒成立，必有即的取值范围为故选：C【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与单调性综合应用，还考查了基本不等式的综合应用及不等式恒成立问题，考查转化能力及计算能力，属于中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13.不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】直接利用一元二次不等式的解法求解。【详解】不等式可化为，解得；该不等式的解集是故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次不等式
8、的解法，解题时先把不等式化简，再求解集，是基础题14.已知，则的最小值为_【答案】2【解析】【分析】首先分析题目，由已知，求的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用基本不等式代入已知条件，化简为不等式，解不等式即可，【详解】解：由题可得： （当且仅当时取等号），整理得：，即：，又：，所以： （当且仅当时取等号），则：的最小值是2故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题。15.下列命题中，错误的命题是_（在横线上填出错误命题的序号）（1）边长为1的等边三角形中，；（2）当时，一元二次不等式对一切实数都成立；（3）中，满足的三角形一定是直角三角形；（
9、4）中，角所对的边为，若，则的最小值为【答案】（1）（3）【解析】【分析】直接利用向量的数量积计算，一元二次不等式恒成立问题解法，三角函数关系式的变换，余弦定理的应用，基本不等式的应用求出结果【详解】解：对于选项（1）边长为1的等边三角形中，由于：，所以错误，对于选项（2）当时，一元二次不等式对一切实数都成立，故：，解得：，当时，恒成立故：，由于：故（2）正确对于选项（3）中，满足，故：或，所以：或所以：三角形不一定是直角三角形；故（3）错误对于选项（4）中，角所对的边为，若，所以：故：故（4）正确故选（1）（3）【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的应用，平面向量的数量积的应用，余弦定理和基
10、本不等式的应用及一元二次不等式恒成立问题，主要考察学生的运算能力和转化能力，属于中档题16.已知点为的外心，且，则_【答案】【解析】【分析】取的中点，把所求数量积中的化为，展开，结合向量投影知识得解【详解】解：如图，取中点，则则，故答案为：【点睛】本题主要考查了圆的弦中点性质，还考查了平面向量的运算及向量投影的概念，考查转化能力及计算能力，属于中档题。三、解答题（共70分）17.已知，且向量在向量的方向上的投影为（1）求与的夹角；（2）求【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由投影的概念直接可得；（2）先求平方，只需代入条件即可得解【详解】解：（1）由题意得，；（2）.【点睛】本题主要考
11、查了向量投影，数量积的定义，考查转化能力及计算能力，属于较易题。18.在中，角所对的边为，的面积为，且（1）求角；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接利用三角恒等变换、两角和差的正弦（余弦）公式整理即可求出结果（2）利用（1）的结论和三角形的面积公式即可求得，再利用余弦定理即可求出结果【详解】解：（1）在中，角所对的边为，且所以：，整理得：，由于：，所以：，整理得：，由于：，所以：（2）由于：，所以：，整理得：，又，故：所以，故：【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，两角和差的正、余弦公式，还考查了运算能力和转换能力及余弦定理，属于中档题19.某厂家举行大型的促销活动
12、，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足 （其中，为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大【答案】（1）y=25-(+x)，（， a为正常数）;（2）当a3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；当Oa3时，促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大【解析】试题分析：（1）利润为总销售所得减去投入成本和促销费用，得y=t(5+）)(10+2t）x=3t+10x，又销售量t万件满足t=5，整理化简可得y=25（+x）；
13、（2）将函数方程整理为对勾函数形式y =28（+x+3），利用基本不等式得到= x +3，即x =3时，得到利润最大值为。试题解析：（1）由题意知，利润y=t(5+）)(10+2t）x=3t+10x由销售量t万件满足t=5（其中0xa，a为正常数）代入化简可得：y=25（+x），（0xa，a为正常数）（2）由（1）知y =28（+x+3），当且仅当= x +3，即x =3时，上式取等号当a3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大； 当0a3时，y在0xa上单调递增，x = a，函数有最大值促销费用投入x = a万元时，厂家的利润最大 综上述，当a3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；当0a3时，促销费用投入x = a万元时，厂家利润最大20.已知在中，分别为角的对边，且是关于的一元二次方程的两根（1）求角的值；（2）若，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系可得，再利用余弦定理即可求出结果（2）利用正弦定理和三角恒等变换化简可得：，结合三角函数的性质即可求出结果【详解】解：（1）在中，分别为角的对边，且是关于的一元二次方程的两
