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1、人教版九下数学 第二十七章 图形研究专题 图形研究9 抛物线中的相似问题 相似构造中考热点1. 已知抛物线 y=-14x2+x-1 的顶点为 A，与 y 轴的交点为 B，C 为抛物线上一点，且 CAB=90，求点 C 的坐标2. 如图，抛物线 y=-x2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，D 为抛物线的顶点(1) 求 BCD 的度数；(2) 点 P 为抛物线上一点，且 PAC 是直角三角形，求点 P 的坐标3. 如图，抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 G 在第一象限的在抛物线上，且 BCG=ACO，求点 G 的坐标4
2、. 如图，抛物线 y=12x2-32x-2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 为第四象限抛物线上一点，连接 AD，BC 交于点 E，连接 BD，记 BDE 的面积为 S1，ABE 的面积为 S2，当 S1S2 的值最大时，求点 D 的坐标5. 如图，抛物线 y=x2-3x+2 与坐标轴交于 A，B，C 三点，点 P 为抛物线上一点，PMBC 于点 M，且 PMCM=12，求点 P 的坐标6. 如图，已知抛物线 y=14x-m2 交 x 轴，y 轴的正半轴于 A，B 两点，且 OA=2OB(1) 求抛物线的解析式；(2) 平移直线 AB 交第二象限的抛物线于点 M，交
3、x 轴于点 N，且 MN=4AB，求 MNO 的面积答案1. 【答案】易知 A2,0，B0,-1， OA=2，OB=1，过点 C 作 CDx 轴于点 D，则可得 AOBCDA， OBAD=OACD， OBCD=OAAD，设点 Ct,-14t2+t-1，则 CD=14t2-t+1，AD=t-2， 1-14t2+t-1=2t-2，解得 t1=10，t2=2（舍去）， C10,-162. 【答案】(1) 过点 D 作 DEy 轴于点 E，易求 A-1,0，B3,0，C0,3，D1.4， OC=OB， OCB=45，证 DE=CE=1， DCE=45， BCD=90(2) 分 3 种情况：当 PAC=
4、90 时，过点 A 作 APAC 交抛物线于点 P，交 y 轴于点 F， OA2=OCOF， F0,-13， 直线 AF:y=-13x-13，联立 y=-13x-13,y=-x2+2x+3, 得 P103,-139当 PCA=90 时，过点 C 作 CPAC 交抛物线于点 P，交 x 轴于点 G， OC2=OAOG， G9,0， 直线 CG:y=-13x+3，联立 y=-13x+3,y=-x2+2x+3, 得 P73,209当 APC=90 时，不符题意，舍去综上，P103,-139或73,2093. 【答案】设 CG 交 x 轴于点 M，由 BCG=ACO 得 ACM=OCB=45=ABC，
5、 ACMABC， AMAC=ACAB，即 AM=AC2AB， OA=1，OB=OC=3，AC2=10，AB=4，AM=52，M32,0，可求直线 CM:y=2x-3，联立 y=2x-3,y=x2-2x-3 得 2x-3=x2-2x-3， x1=0（舍去），x2=4， G4,54. 【答案】过点 D 作 DGx 轴于点 G，交 BC 于点 F，过点 A 作 AKx 轴交 BC 的延长线于点 K， AKDG， AKEDFE， DFAK=DEAE， S1S2=DEAE=DFAK，易知 A-1,0，B4,0，C0,-2，可得 BC：y=12x-2，当 x=-1，y=-52， AK=52，设 Dm,12
6、m2-32m-2，则 Fm,12m-2， DF=12m-2-12m2+32m+2=-12m2+2m S1S2=-12m2+2m52=-15m-22+45 当 m=2 时，S1S2 的值最大，此时，D2,-35. 【答案】易求 A1,0，B2,0，C0,2，连接 AC，延长 CP 交 x 轴于点 N，证 AOCPMC， ACO=PCM， OCB=45， ACP=45， ABCACN， AC2=ABAN， AN=5， N6,0， CN:y=-13x+2，联立 y=-13x+2,y=x2-3x+2, 得 P83,1096. 【答案】(1) 依题意 Am,0，B0,12m，将 B 代入解析式中得 12m=14m2，所以 m1=0（舍），m2=2，所以 y=14x-22(2) 过点 M 作 MHx 轴于点 H，则 MNHBAO，所以 MHBO=NHAO=MNAB=4，所以 MH=4，NH=8，当 y=4 时，14x-22=4，所以 xM=-2 或 xM=6（舍去），所以 ON=8-2=6，所以 SMON=1264=12
