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1、个人收集整理仅供参考学习矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算地结合和推广， 主要研究矢性函数地极限、 连续、导数、微分、积分等 .而场论则是借助于矢量分析这个工具， 研究数量场和矢量场地有关概念和性质 .通过这一部分地学习， 可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具， 并初步接触到算子地概念及其简单用法， 为以后学习有关专业课程和解决实际问题， 打下了必要地数学基础 .第一章矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论地基础， 本章主要包括以下几个主要概念： 矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念 .与高等数学研究过地数性函数地相应概念完全类似， 可以看成是这些概念在矢量分析中地
2、推广 .b5E2RGbCAP2 本章所讨论地，仅限于一个自变量地矢性函数 A t ，但在后边场论部分所涉及地矢性函数， 则完全是两个或者三个自变量地多元矢性函数 A x, y 或者 A x, y, z ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念， 完全可以仿照本章将高等数学中地多元函数及其有关地相应概念加以推广而得出 .p1EanqFDPw3 本章地重点是矢性函数及其微分法， 特别要注意导矢 A t 地几何意义，即 A t 是位于 A t 地矢端曲线上地一个切向矢量，其起点在曲线上对应 t 值地点处，且恒指向 t 值增大地一方 .DXDiTa9E3d如果将自变量取为矢端曲线地弧
3、长s，即矢性函数成为 AA s ，则A sdA 不仅是一个恒指向 s 增大一方地切向矢量， 而且是一个单位ds切向矢量 .这一点在几何和力学上都很重要.RTCrpUDGiT4 矢量 A t 保持定长地充分必要条件是A t 与其导矢A t 互相垂直 .因此单位矢量与其导矢互相垂直 .比如圆函数 e tcost isin t j 为单位矢量，故有 e t e t ，此外又由于ete1t ，故e te1（圆函数还可t .1/19个人收集整理仅供参考学习以用来简化较冗长地公式，注意灵活运用）.5PCzVD7HxA5 在矢性函数地积分法中， 注意两个矢性函数地数量积和两个矢性函数地矢量积地分部积分法公式
4、有所不同，分别为： jLBHrnAILgA BdtA BBA dtABdtABBA dt前者与高等数学种数性函数地分部积分法公式一致， 后者由两项相减变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故 .xHAQX74J0X6 在矢量代数中， 在引进了矢量坐标之后， 一个空间量就和三个数量构成一一对应关系，而且有关矢量地一些运算，例如和、差以及数量与矢量地乘积都可以转化为三个数量坐标地相应运算 .同样，在矢量分析中，若矢性函数采用坐标表示式， 则一个矢性函数就和三个数性函数构成一一对应关系， 而且有关矢性函数地一些运算， 例如计算极限、求导数、求积分等亦可以转化为对其三个坐标函数地相应运算.LD
5、AYtRyKfE7 矢性函数极限地基本运算公式 (14)、导数运算公式 (p11)、不定积分地基本运算公式 (p16)典型例题：教材 p6 例 2、p10 例 4、p12 例 6、p13 例 7.习题一（ p1920）此外还有上课所讲地例题.补充：1）设 r ae112bk ，求 Sr r d20）一质点以常角加速度沿圆周 r ae运动，试证明其加速度2v 2 a 2 r ，其中 v 为速度 v 地模 .）已知矢量 A ti2tj ln tk ， Bt.e i sin tj 3tk ，计算积分3A B dt2/19个人收集整理仅供参考学习）已知矢量 A ti2tj ， Btk ，计算积分.co
6、sti sin tj e4A B dt3/19.EmxvxOtOco个人收集整理仅供参考学习第二章场论一 内容概要1 本章按其特点可以划分为三部分： 第一部分为第一节， 除介绍场地概念外，主要讨论了如何从宏观上利用等值面（线）和矢量线描述场地分布规律；第二部分为第二、三、四节，内容主要是从微观方面揭示场地一些重要特性； 第三部分为第五节， 主要介绍三种具有某种特性而又常见地矢量场 .其中第二部分又为本章之重点 .Zzz6ZB2Ltk2 空间数量场地等值面和平面数量场地等值线以及矢量场地矢量线等，都是为了能够形象直观地体现所考察地数量 u M 或矢量 A M 在场中地宏观分布情况而引入地概念 .
7、dvzfvkwMI1比如温度场中地等温面， 电位场中地等位面， 都是空间数量场中等值面地例子；而地形图上地等高线即为平面数量场中等值线地例子.rqyn14ZNXI在矢量场中， 矢量线可以体现场矢量地分布状况，又能体现场矢量地走向 .例如流场中地流线，体现了流速地分布状况和它们地走向 . 此外，由于矢量场中地每一点都有一条矢量线通过， 因此对于场中地任一条曲线 C（非矢量线），在其上地每一点也皆有一条矢量线通过，这些矢量线地全体，就构成一曲面，称为矢量面，特别地，当曲线C为封闭曲线时，矢量面就成为一管形曲面，称之为矢量管3 有一种空间场（矢量场或者数量场）具有这样地一种几何特点：就是在场中存在一
8、族充满场所在空间地平行平面， 场在其中每一个平面上地分布，都是完全相同地 （若是矢量场，其场矢量同时也平行于这些平面） .对于这种场，只要知道场在其中任一平面地中地特性，则场在整个空间里地特性就知道了， 因此，可以将这种场简化到这族平面中地任意一个平面上来研究，因而，也把这种场称为平行平面场.在平行平面场中， 通常为了研究方便， 通常取所研究地这一个平面为 xoy 平面 .此时，在平行平面场中，场矢量就可以表示成为平面矢量A Ax x, y i Ay x, y j ，在平行平面数量场中， 其数量就可以表示成为二元函数 u u x, y ，并且这样地研究结果适用于任何一块与xoy 面平行地平面
9、.SixE2yXPq54/19个人收集整理仅供参考学习典型例题：习题2（最好能全部做一下）（1）求数量场 uln x 2y2z2 通过点 M(1,2,1)地等值面 .（2）求矢量场 Aijx2y k 通过点 M(2,1,1)地矢量线方程 .4 数量场中函数 u M 地方向导数是一个数量 .它表示在场中地一个点处函数 u M 沿某一方向地变化率 .详细点说：其绝对值地大小，表示沿该方向函数变化地快慢程度， 其符号地正负， 则表示沿该方向函数地变化是增加还是减小地 .6ewMyirQFL若在点 M 处，函数 u M 可微，则函数 u 沿 l 方向地方向导数在迪卡尔坐标下地计算公式为：uu cosu
10、 cosu coslxyz5 数量场地梯度是一个矢量，场中地每一点都对应着一个梯度矢量.梯度矢量有两个重要性质：（1）梯度在任一方向上地投影，正好等于函数在该方向上地方向导数， gradl uu .据此可以推出：梯度自身地方向就是方向导数最大地l方向，其模就是这个最大方向导数地数值.kavU42VRUs（ 2）数量场中每一点处地梯度都垂直于此数量场过该点地等值面，且指向函数值增大地一方 .梯度在直角坐标系中地表达式为：graduu iu ju k .xyz此外，从梯度地基本运算公式可以看出，他与一元函数中导数运算地公式完全类似，这一点可以帮助大家掌握梯度地基本运算5/19个人收集整理仅供参考学
11、习(p39).y6v3ALoS89典型例题p34 例 2，p37 例 3，例 4，p38 例 5，6，习题 3.（ 1 ） 求 函 数 u3x2z 22yz2 xz 在 点M(1,2,3) 处 沿 矢 量 yzi xzj xyk 方向地方向导数 .（2）求函数 uxyz 在曲面在点M(2,3,3)处沿曲面下侧法线方向地方向导数u |M .n（3）求函数u3x2yy2在点处沿曲线y x21朝x增大一方地M(2,3)方向导数 .（4）设 R 是从点 M 0a, b, c 到任意一点 M x, y, z 地距离，求证 gradR 是在 RM 0 M 方向上地单位矢量 .（5）已知一可微地数量场u x
12、, y, z 在点 M 0 1,2,1 处，朝点 M 1 2,2,1 方向地方向导数是4，朝点 M 2 1,3,1 方向地方向导数为 -2，朝点 M 3 1,2,0 方向地方向导数为1，试确定在 M 0 处地梯度，并求出朝点M 4 4,4,7 方向地方向导数 .M2ub6vSTnP（6）求数量场 u1 在点 M 1,0,0 处沿过点 M 地等值面地外法线方向 nr地方向导数u ，其中 r 为矢径 r xi yj zk 地模 .l6 矢量场 A 穿过某一曲面 S 地通量A dS 是从某些物理量，诸如s流速场中地流量、 电场中地电通量、 磁场中地磁通量以及热流场中地热量等等概念中抽象出来形成地一个数学概念 .因此通量是具有若干物理意义地 .0YujCfmUCw6/19.GMsIasNXkA个人收集整理仅供参考学习如果 S 是一个封闭曲面，则矢量场 A 穿出 S地总通量为A dS ，S
