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1、1. 乘法原理和加法原理(1) 乘法原理：如果完成一件事需要乃个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，第 n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有N = mm2-m种不同的方法.(2) 加法原理：如果完成一件事有n类办法，在第1类办法中有mi种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同 的方法，在第n类办法中有m.种不同的方法，那么完成这件事共有N = mi + m2 + + m.种不同的方法.【注意】应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理， 需要注意“步”与“步”之间的连续性；完成一件事有若干类方法，每类方法能独立完
2、成这件事，则符合加法原 理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性.2. 排列组合(1) 排列的概念：从n个不同的元素中取出m(m n)个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个排列；从n个不同的元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pm表示.n（2）排列数公式：Pm = n（n- 1）（n-2）.（n-m +1） 二，一（m,n e N*,m n），P = n!，规定：0! = 1.n（n - m）!n(3) 组合的概念：从n个不同的元素中取出m(m n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
3、 一个组合；从n个不同的元素中取出m(m AV r+1r + 2（4）常用的结论：；【二项式定理主要应用】令Q = 1求展卉式中的特特定版或特定版的系数2 + + C； + + C；x（n e N*）求二项式系数和或各项的系数和，主要运用“赋值法”；令=整除性的证明了求fc主要运用孑配凑法+勺&消去法”；1）nCnxn（ n e N *）分析例1. 9名身高各不相同的人排队，按下列要求，各有多少种不同的排法？（1）排成一排（2）排成前排4人，后排5人的两排（3）排成一排，其中A，B两人不相邻（4）排成一排，其中C，D两人相邻（5）排成一排，其中E不在排首，F不在排尾（6）排成一排，其中A必须站
4、在B的右侧（不一定相邻）（7）排成一排，身高最高的人站中间且向两边递减（8）排成一排，其中H，I之间必须间隔2人【答案】（1）直接法P9 ； （2）p9 ；（3）插空法P7P2 ；（4）捆绑法P2P8 ；（5）分类，特殊位置法P8 + 7x7P7 ； （6）对称法P9 + 2 ；（7）直接法C48798（8）捆绑法P 2 P 2 P 62 7 6例2.有四位男学生，三位女学生排队照相，根据下列要求，各有多少种不同的排列结果（1）七个人排成一列，四个男学生必须连接在一起（2）七个人排成一列，其中甲乙两人之间必须间隔2人（3）七个人排成一列，三个女生不全相邻【答案】（1）捆绑法P4 - P4 =5
5、76；（2）捆绑法P2 - P2 - P4 =960；（3）间接法P7 - P； - P3 =4320例3.某校高一年级有6个班级，现要从中选出10人组成高一女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要 选1人参加，这10个名额有多少种不同的分配方法？【答案】隔板法，相当于9个空隔了 5块板，C5=126种94、(1)将4封信投寄到3个邮箱中，有多少种不同的投寄方法？将4封信投寄到3个邮箱中，每个邮箱至少一封信，有多少种不同的投寄方法？将4封信投寄到3个邮箱中，恰好有一个邮箱没有投递，有多少种不同的投寄方法?【参考答案】(1)81 (2)36(3)42/5、书架的第1层放有4本不同的计算机书，
6、第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，从书 架上任取1本书，有多少种不同的取法？【参考答案】解：从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2 类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法根据分类计数原理， 不同取法的种数是4+3+2=9种所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；6、(1) C22% = C3x+6,求 x .1212(2) C33 + C： + C3 + C3 + C7 + C3 =.(3) C；7 - n + C； =.【参考答案】(1)x2 - 2x = 3x + 6 或 x
7、2 - 2x = 12 一3x一6x 2 - 5 x 一 6 = 0 或 x 2 + x 一 6 = 0x = 2,x = 3 或 x = -3,x = 2经检验x = 2(2) 原式=C3 + C3 + C3 + C3 + C3 + C3 = C4 = 12617 - n 2n1713(3) n n 一 n n = 63n 13 + n32原式=C：; + C18 = C12 + C19 = 12 +19 = 317、书架上有9本不同的书，若把另外3本不同的书插进去，且要求不插在两头， 有 种不同的插法.【参考答案】7208、九张卡片分别写着数字0,1, 2,，8,从中取出三张排成一排组成一
8、个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？【参考答案】可以分为两类情况： 若取出6,则有2（令+ CCC ）种方法； 若不取6,则有CiP2种方法.7 7根据分类计数原理，一共有2（P2 + C1C1C1）+ C1P2 =602种方法.82 7 77 79、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有_ 种.【参考答案】 由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有C：种方法； 第二步是在组装计算机任意选取3台，有C；种方法，据乘法原理共有C：C；种方法.同理，完成第二类办法中有 C3 -C2种方法
9、.据加法原理完成全部的选取过程共有C2 - C5 + C3 -C52 = 350种方法.经典例题：例1.四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（）A. 150 种 B, 147 种 C, 144 种 D, 141 种AC【答案】取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法， 先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法.在10个点中任取4点，有C10种取法，取出的4点共面有三类第一类：共四面体的某一个面，有4C4种取法；6第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE，有6种取法；第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM ，共有3个.故取4个不共面的点的不同取法共有C 4 - （4C: +6 + 3） = 141，因此选D例2. 一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育 数学课排在上午，班会课排在下午，问共有多少种不同的排课方法？【答案】方法一：从数学课入手(第
