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1、2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆教师用书文北师大版2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆教师用书 文 北师大版1椭圆的概念把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ab0)1 (ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)
2、，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b2c2【知识拓展】点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的
3、曲线是椭圆()(5)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()(6)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等()1(教材改编)椭圆1的焦距为4，则m等于()A4 B8 C4或8 D12答案C解析由题意知或解得m4或m8.2(2015广东)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m等于()A2 B3 C4 D9答案B解析由题意知25m216，解得m29，又m0，所以m3.3(2016全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B解析如图，由题意得|BF|a，|OF|c，|OB|b，|OD|2bb.在RtFOB中，|O
4、F|OB|BF|OD|，即cbab，解得a2c，故椭圆离心率e，故选B.4已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析由题意知c1，e，所以a2，b2a2c23.故所求椭圆方程为1.5(教材改编)已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_答案或解析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，所以P点坐标为或.题型一椭圆的定义及标准方程命题点1利用定
5、义求轨迹例1(2016济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆答案A解析由条件知|PM|PF|，|PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆命题点2利用待定系数法求椭圆方程例2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则椭圆的方程为_答案(1)y21或1(2)1 解析(1)若焦
6、点在x轴上，设方程为1(ab0)，椭圆过P(3,0)，1，即a3，又2a32b，b1，方程为y21.若焦点在y轴上，设方程为1(ab0)椭圆过点P(3,0)，1，即b3.又2a32b，a9，方程为1.所求椭圆的方程为y21或1.(2)设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn)椭圆经过点P1，P2，点P1，P2的坐标适合椭圆方程则两式联立，解得所求椭圆方程为1.命题点3利用定义解决“焦点三角形”问题例3已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.答案3解析设|PF1|r1，|PF2|r2，则2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c
7、24b2，又r1r2b29，b3.引申探究1在例3中增加条件“PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程解由原题得b2a2c29，又2a2c18，所以ac1，解得a5，故椭圆方程为1.2在例3中将条件“”、“PF1F2的面积为9”分别改为“F1PF260”、“3”，结果如何？解|PF1|PF2|2a，又F1PF260，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，即(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，所以3|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|b2，又因为|PF1|PF2|sin 60b2b23，所以b3.思维升华
8、(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a|F1F2|这一条件(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式(3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等(1)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部
9、且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2016大庆质检)设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使()0(O为坐标原点)，则F1PF2的面积是()A4 B3 C2 D1答案(1)D(2)D解析(1)设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，故所求的轨迹方程为1.(2)()()0，PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，m2n212,2mn4，mn1.题型二椭圆的几何性质例4(1)已知点F1
10、，F2是椭圆x22y22的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A0 B1 C2 D2(2)(2016全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B. C. D.答案(1)C(2)A解析(1)设P(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22.点P在椭圆上，0y1，当y1时，|取最小值2.故选C.(2)设M(c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以
11、，a3c，e.思维升华(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围(2016江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B
12、，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_答案解析联立方程组解得B，C两点坐标为B，C，又F(c,0)，则，又由BFC90，可得0，代入坐标可得c2a20，又因为b2a2c2.代入式可化简为，则椭圆的离心率为e.题型三直线与椭圆例5(2016天津)设椭圆1(a)的右焦点为F，右顶点为A.已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率解(1)设F(c,0)，由，即，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以椭圆的方程为1.(2)设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120，解得x2或x.由题意得xB，从而yB.由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有(1，yH)，.由BFHF，得0，所以0，解得yH.因此直线MH的方程为yx.设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM
