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1、新教材适用高中必修数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程学习目标1.会推导圆的标准方程.2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径.3.掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程.4.体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力.能根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程.学习过程一、设计问题,创设情境前面我们已经学习过直线方程,初中也学习过圆的一些知识,请同学们思考:问题1:在平面直角坐标系中,两点能确定一条直线,一点和直线的倾斜角也能确定一条直线.那么在平面直角坐标系中确定一个圆的几何要素是什么呢?问题2:根据前面我们所学的
2、直线方程的知识,应该怎样确立圆的方程呢?二、学生探索,尝试解决若设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r(其中a,b,r都是常数,r0),试求圆的方程.三、信息交流,揭示规律1.在直角坐标系中,当与确定后,圆就唯一确定了,因此,确定圆的基本要素是.2.在平面直角坐标系中,若一个圆的圆心A(a,b),半径长为r,则圆的标准方程为.推导的步骤是.若点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则点M的坐标就适合方程,即;反之,若点M的坐标适合方程,这就说明与的距离为r,即点M在圆心为A的圆上.3.圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程为.4.若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2内,则满足
3、条件;若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外,则满足条件;同理,若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内,则满足条件;若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外,则满足条件.5.ABC外接圆的圆心即为外心,即的交点.四、运用规律,解决问题6.写出下列各圆的标准方程:(1)圆心在原点,半径为3.(2)圆心为(2,3),半径为.(3)经过点(5,1),圆心在(8,-3).7.根据圆的方程写出圆心和半径:(1)(x-2)2+(y-3)2=5;(2)(x+2)2+y2=(-2)2.8.写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2
4、(-,-1)是否在这个圆上.总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)9.ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.总结规律:(试总结如何根据题设条件求圆的标准方程,是用的什么方法?)10.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.总结规律:(试总结如何根据题设条件求圆的标准方程,是用的什么方法?)五、变练演编,深化提高同学们仿照上述例题,自己试着编几道写、求圆的标准方程,或判断点与圆的位置关系的题目.六、信息交流,教学相长(请同学们把你编写的较为典型的题目选几个写
5、在下面)七、反思小结,观点提炼1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r22.求圆的标准方程的方法:待定系数法.3.要求一个圆的标准方程,需要三个条件:圆心的横坐标、纵坐标和半径.4.点与圆的位置关系:点在圆上,点在圆外,点在圆内.参考答案三、1.圆心半径圆心和半径2.(x-a)2+(y-b)2=r2建系、设点、列式、化简(x0-a)2+(y0-b)2=r2点M圆心3.x2+y2=r24.r2(x0-a)2+(y0-b)2r25.ABC三边垂直平分线四、6.(1)x2+y2=9(2)(x-2)2+(y-3)2=5(3)(x-8)2+(y+3)2=257.(1)圆心(2,3),半径(2)圆
6、心(-2,0),半径28.圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25把点M1(5,-7)坐标代入圆的方程:(5-2)2+(-7+3)2=9+16=25所以点M1(5,-7)在圆上.把点M2(-,-1)坐标代入圆的方程:(-2)2+(-1+3)2=13+425,所以点M2(-,-1)不在圆上.9.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),则:解得所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.10.(1)利用圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,只要能构造三个方程求出a,b,r便可.(2)确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)
7、,由于圆心C与A,B两点的距离相等,所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上,又圆心C在直线l上,因此圆心C是直线l与直线m的交点,半径长等于|CA|或|CB|.解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,将点A(1,1)和B(2,-2)代入得又圆心在l:x-y+1=0上,所以a-b+1=0.联立方程组解得a=-3,b=-2,r=5.所以所求的圆的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25.解法二:因为A(1,1)和B(2,-2),所以线段AB的中点坐标为(,-),直线AB的斜率为kAB=-3,故线段AB的垂直平分线方程为y+(x-),即x-3y-3=0.由解得因此圆心C的坐标为(-3,-2),半径r=|AC|=5,所以所求的圆的方程为(x+3)2+(y+2)2=25.点评:比较解法一与解法二,不难看出解法二直接明了,思路明确,易于理解,而解法一则笼统,较繁.圆的几何性质的运用使圆的方程的求解运算简单、方便、快捷,这也是解析几何中以形助数的精髓,在以后的解题中要注意应用.
