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1、1、1.2.3.4.5.6.7.21.线性代数重要知识点行列式n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2行列式； 代数余子式的性质： 、 A 和 a 的大小无关；ij ij 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0; 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为国；A = (-1)i+jM ijij代数余子式和余子式的关系：M = （-1）i+jA ijij设n行列式D:将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，1则 D = (-1)于 D;1n(n-1)I 2 D ；主对角行列式：主对角元素的乘积；将D顺时针或逆时针旋转90。，所得行列式为D，则D = （-1）
2、22将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D，则D = D;33将D主副角线翻转后，所得行列式为D，则D = D ； 44行列式的重要公式： 、副对角行列式：副对角元素的乘积x（-1）于；上、下三角行列式（丨、1 = IM ）：主对角元素的乘积;、r |和|丄|：副对角元素的乘积x（-1）节;=(_i)m g AI Bl拉普拉斯展开式： 范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积特征值；对于n阶行列式AI，恒有：|入E A| = Xn +X （-1）kS Xn-k，其中S为k阶主子式; kkk =1证明IaI = o的方法： 、IaI = - |a| ； 、反证法； 、构造齐次方程组Ax = 0，
3、证明其有非零解; 、利用秩，证明r（A） n ； 、证明0是其特征值；矩阵A是n阶可逆矩阵：o |a|丰0 （是非奇异矩阵）；o r（A） = n （是满秩矩阵）o A 的行（列）向量组线性无关；o 齐次方程组 Ax =0有非零解；o Vb e Rn， Ax = b 总有唯一解；o A与E等价；o A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；o A的特征值全不为0；o AtA是正定矩阵；o A的行（列）向量组是Rn的一组基;o A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A : AA* = A*A = AE无条件恒成立;3.(A-i)* = (A*)t(AB )t = BtAt(A-i )T = (
4、AT )-i( AB)* = B* A*(A*)T = (AT)*( AB ) -i = B -i A -i4.5.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：，则:II、3、IaI = Ia|a II a12s(A-i1A-i =A-i2A、-1 (1 B丿/ A、-1 (B丿丿/ AC、-1 (B丿/ A、-1 (CB丿、A-iOA-iOOA-1As-i 丿sO B-1丿B-1、丿；(主对角分块)；(副对角分块)-A-CB-B-i丿A-iO -B-1CA-1 B-1 丿；(拉普拉斯)；(拉普拉斯)矩阵的初等变换与线性方程组EO1.
5、一个m Xn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F =巴；I 丿mXn 等价类：所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵对于同型矩阵A、B，若r(A) = r(B)o A : B ；2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) 、若(A, E) : (E, X)，则 A 可逆，且 X = A-1 ； 、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A-1B，即：(A,B* (E,A
6、B)；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax = b，如果(A,b)r (E, x)，则A可逆，且x = A-1b ；初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;1、A =，左乘矩阵 A ，九乘A的各行元素；右乘，九乘A的各列元素;ii/ 1 、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(ij)-i = E(i, j)，例如：1V 一 一 1 (1 、倍乘某行或某列，符号E(i(k),且E(i(k)-i = E(i()，例如：kV(1 、倍加某行或某列，符号E(ij(k),且E(ij(k)- = E(ij(-k)，如：V5. 矩
7、阵秩的基本性质： 、0 r(A ) min(m,n)；mxn 、r(At ) = r(A)； 、若 A : B，则 r(A) = r(B)； 、若P、Q可逆，则r=r(PA) = r(AQ) = r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩) 、max(r(A),r(B) r(A,B) r(A) + r(B)；(探 、r(A + B) r(A) + r(B)；(探 、 r(AB) min(r(A),r(B)；() 、如果A是m xn矩阵，B是n xs矩阵，且AB = 0，贝9：(探I、B的列向量全部是齐次方程组AX = 0解(转置运算后的结论)；II、r(A) + r(B) r(A) + r(B)
8、-n ;-1k Y1(k 工 0)(k 丰 0)；6. 三种特殊矩阵的方幂： 、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)X行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;(1 a c c 、型如0 1 b的矩阵：利用二项展开式；0 0 1 丿二项展开式：(a + b)n=C 0a n + C1 an-1b1 + L + Cman-mbm + L + Cn-1a1bn-1 + CnbnnnZ Cmambn-mnm=0注：I、(a + b)n展开后有n +1项;n(n 一 1)L L (n 一 m +1)n!、 Cm =n1g2g3gL gmm!(n - m)!C0 =Cn =1 nnIII、组合的性质：C
9、m = CnnnCm = C m + Cm-1n+1nnZ Cr = 2nrCr = nCr -1 ；nnn-1r=07. 、利用特征值和相似对角化: 伴随矩阵：r ( A) = nr ( A) = n - 1r(A) n 一 1n、伴随矩阵的秩：r(A*) = 10、伴随矩阵的特征值：A (ax =入x,a* = IaA-0 a*x =)；九九、a* = IaI A-1、|a*| = |a|w-1 8. 关于 A 矩阵秩的描述： 、r(A) = n，A中有n阶子式不为0，n +1阶子式全部为0；(两句话) 、r(A) n， A中有n阶子式不为0；9.10.11.41.2.3.4.5.6.7.
10、线性方程组：Ax = b，其中A为m xn矩阵，贝V： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax = b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax = b为n元方程; 线性方程组Ax = b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得； 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:a x + ax+ L+ ax= b、11 11221nn1a x + ax+ L+ ax= b21 12222 nn2LLLLLLLLLLL、(aaLa )(x r b)11121n11aaLaxb21222n2=2MMOMMM
11、aa cLa_丿七丿 b J、mmmnm n na x + a x + L + a x = b m11 m 2 2mn m(x )1人（向量方程, o Ax = baL12+L + a xnnA为m x n矩阵,m个方程，n个未知数）（全部按列分块，其中p =P （线性表出）(b )1b2M）；a x + a x1 1 2 2有解的充要条件：r（A） = r（A,卩） n （ n为未知数的个数或维数）、向量组的线性相关性m个n维列向量所组成的向量组A : a ,a ,L ,a构成nxm矩阵A = （a ,a ,L ,a ）；12 m12 mP r ）1m个n维行向量所组成的向量组B : pr,
12、卩r ,L ,卩r构成m xn矩阵B =卩2 ；12mMB rW m丿含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 、向量组的线性相关、无关 o Ax = 0有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出o Ax = b是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示o AX = B是否有解；（矩阵方程）矩阵A 与B 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax = 0和Bx = 0同解；（P例14）mxnl xn101r（ArA）=r（A）； （P 例15）101n维向量线性相关的几何意义： 、 a 线性相关o a =0； 、 a, B 线性相关o a, B 坐标成比例或共线（平行）； 、
13、a, B,丫线性相关 oa,卩，丫共面； 线性相关与无关的两套定理：若a ,a ,L ,a线性相关，则a ,a ,L ,a ,a 必线性相关；1 2s1 2s s+1若a ,a ,L ,a线性无关，则a ,a ,L ,a必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）1 2s1 2s-1若r维向量组A的每个向量上添上n -r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A线性无关，则r s ；向量组A能由向量组B线性表示，则r（A） r（B）； 向量组A能由向量组B线性表示o AX = B 有解；o r （ A ） = r （ A , B ）向量组A能由向量组B等价o r(A) = r(B) = r(A, B) 方阵A可逆o存在有限个初等矩阵P,P ,L ,P，使A = PP L P ；
