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1、双曲线的切线和它的切点弦的性质王安陶（安徽省淮南二中232038）证明本文探究双曲线切线的作法，自双曲线 外一点所引切线的分布和切点弦的性质。下 面先给出切线的一个定理。定理1 双曲线的两个焦点，各自关于 它的所在支切线对称点的轨迹，是以另一个 焦点为圆心,实轴长为半径，且夹在各自焦点 关于两条渐近线的对称点间的两段圆弧（不 含弧的端点）.如图1,设Q1，Q2分别是焦点F1 关于渐近线L和L2的对称点,T为左支上任 意一点,m为过T的切线.P为F关于m的对 称点,FP交m于A.联PF2,由轴对称性质及 双曲线的光学性质知ITPI=ITF1I且 Z F1TA= z ATP= z ATFtpf2三
2、点共线。. if2pi=if2ti-itpi=if2ti-itf1i=实轴长。又渐近线是切线的极限位置，P点的轨迹是以f2为圆心，以实轴长 为半径的圆弧QQ2（不含q1.q2两点）.同理,右焦点f2关于所在支动切线对称 点的轨迹是以F1为圆心，以实轴长为半径的 圆弧Q3Q4（不含q3.q4两点）。两段圆弧合起 来就是所求的轨迹。用定理1作双曲线的切线。 如图2,设M为双曲线外一点（区域W内）， 自M引双曲线的切线作法如下：（1）作焦点片和f2关于各自所在 支切线对称点的轨迹QQ2和q；q4；（2） 以M为圆心，以IMFJ为半径画 弧交Q1Q2 于 P；以M为圆心，以MF2I为半径 画弧交Q3Q
3、4于P2;（3） 联 P1F1 和 P2F2，分别作 P1F1 和P2F2的中垂线MR和MR2.则MR和MR2 分别为双曲线左,右两支的切线（或作直线 F2P1和F1P2，分别交双曲线于T和T2，再 作直线MT1和MT2即得所求切线）。如图2,两条渐近线把双曲线的外部分 成四个区域。当M在对称中心时，自M不能 引它的切线；当M在渐近线上（除去对称中 心）时，自M能引它的一条切线；当M在区 域I或II时，自M分别能左支或右支的两条 切线；当M在区域III或W时，自M都能引两 条分别与两支相切的切线。下面给出双曲线切点弦的性质。x 2 y 2定理2设M为双曲线-=1(a，a 2b 2b0）外一点（
4、不在渐近线上）。过M作双曲 线的切线MA和MB，A.B为切点。又过 M作一条割线交双曲线于R、S,交切点弦2MR - MSAB 于Q,则 MQ= MR + MS分析定理中的条件可分为以下四种 种情形：切线与同一支相切，割线与两支 相交；切线与同一支相切，割线也与该支相交；切线与两支相切，割线也与两支相 交；切线与两支相切，割线只与一支相交。 这四种情形的证法是相同的。这里任选一种（如情形）加以证明。图3证明 如图3,设M的坐标为（x0,y0）,MS 为割线的正方向，其参数方程为2t ta 2b 2 b 2 x 2 + a 2 y 21_ =00 0t +1 b 2 x cos 6 a 2 y
5、sin 612002t tt= 1一t +112用有向线段的数量表示就是2MR - MSMQ= MR + MSx=x0+tcos 9（参数t为有向线段:的数量）Qy=y0+tsin9x x y y而切点弦AB的方程为0=1Qa 2b2=1以Q代入Q得x (x + tcos600a2y (y + tsin0 )00b 2a 2 b 2 b 2 x 2 + a 2 y 2解得t=00 0b2x cos6 a2y sin6(.9在MS割线的正方向上)以Q代入双曲线方程，化简并整理得： (b2cos29 -a2sin29 )t2+ 2(b2x0cos9 -a2y0sin9 )t-(a2b2-b2x02+a2y02)=0 由韦达定理得t1+t2=2(b x cos6 + a2y sin6)I0b2cos26 a2 sin26a 2b 2 b 2 x 2 + a 2 y 2t t = TT 0012b2cos26 a2sin26
