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1、对数学核心概念的思考北京教育科学研究院 吴正宪 北京顺义区教育研究考试中心 张秋爽 义务教育数学课程标准（2011年版）提出了10个核心概念。它们是：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。与实验稿相比，在这10个核心概念中， 有一些是新增加的：运算能力、模型思想、几何直观、创新意识；有一些是名称或内涵发生了变化的：数感、符号意识、数据分析观念； 有一些是保持了原有名称，基本保持了原有内涵：空间观念、推理能力、应用意识。 这10个核心概念可以分成三层：第一层，主要体现在某一内容领域的核心概念。数感、符号意识、运算能力主要体现在数与代数
2、领域，空间观念主要体现在图形与几何领域，数据分析观念主要体现在统计与概率领域；第二层，体现在不同内容领域的核心概念，包括几何直观、推理能力和模型思想；第三层，超越课程内容，整个小学数学课程都应特别注重培养学生的应用意识和创新意识。 下面就结合一些课堂实例对其中新增的四个核心概念“运算能力、模型思想、几何直观、创新意识”的理解与大家交流。一、 如何提高学生的运算能力运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。一是指运算；二是指运算能力。运算能力不仅仅会算和算正确，还包括对于运算的本身要有理解，比如运算对象、运算的
3、意义、算理等。提到运算的意义，我们觉得要让学生积累运算的原型，不断补充进而完善学生对于运算含义的准确把握。运算的多种“原型”包括：加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的模型；减法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法逆运算等的模型；乘法可以作为相等的数的和、面积计算、倍数、组合等的模型；除法可以作为平均分配、比率或乘法逆运算等的模型。提到算理和算法的关系，我们认为“法理”需要平衡。直观演绎，清晰算法是外在模型,算理是内在的魂。而现在的孩子在学习新知识之前不是一张白纸，他们往往学会了一些所谓的计算方法，但是对于方法背后的道理却是知之甚少或一无所知，怎样引起他们对算理的关注与探究呢？教学中可
4、以借助直观模型，架起算理与算法之间的一座桥梁，使学生能够直观地感悟计算的道理。北京黄城根小学的史冬梅老师的一节两位数乘两位数，结合三年级学生的思维特点，借助直观模型也很好地处理了算理与算法的关系。片段一：“算对了”就是真明白了吗？教师出示问题1412等于多少.在学生独立试做并利用计算器验证出结果后，全班学生证明计算结果正确之后，老师说：“既然我们已经认同了1412=168是正确的，大家又会计算过程,是不是就可以下课了呢？”不能下课的呼声顿时而起.“妈妈教会我计算，但是我不知道为什么这样计算。”“竖式计算方法为什么上下摞着写，”“是谁发明这样计算的，人类怎么想到这种方法的，”看似一句简单的“是否
5、可以下课”，引发了学生的深度思考。教师创设这样的问题情境，没有把学生的思维停留在计算的结果，而是为学生提供质疑的空间，让使学生带着需求进入后续知识的研究。片段二：在点子图上刻画思维轨迹“我们除了用竖式计算和用计算器计算之外，同学们还有很多计算方法，例如1272；1462；1443；1426；1210+124；1252+124，这样计算有道理吗？” 学生开始疑惑和茫然，此时教师提供点子图建议学生在图中找答案。（每行有14个点，有这样的12行）学生在点子图中演绎计算道理。如下图所示。 学生在点子图中找到计算的道理，并证明实以上几种方法都是正确的。史老师接着追问：“哪个图能恰当的体现竖式的计算过程？
6、”史老师在这节课上没有将会写“竖式”作为最终的教学目标，而是在学生已经能够初步掌握竖式计算方法的基础上，提供给学生直观的点子图作为研究素材，使学生的种种思维轨迹在点子图上留下足迹，使学生丰富多彩的学习成果得以证明。学生计算的方法不完全相同，但都是采用“先分后合”的思路，这一点恰恰就是乘法竖式计算的基本思路。其中最后的追问也体现了直观与抽象的关系，让学生进一步理解计算的道理。片段三：在点子图中，把抽象的算理和外显的算法进行勾连“竖式计算中用到的四句口诀（二四得八，一四得四，一二得二，一一得一）计算的是哪部分？为什么第二层的积要错位写？能在点子图上找到竖式计算的过程并说明道理吗？”提出的问题引发学
7、生思考，学生开始在点子图上寻觅竖式计算的步骤。在点子图中找每个算式对应的位置。如下图所示：接着将点子图抽象成矩形，并用数形结合表示计算的过程和道理，如下图： 然后，说明第二层积为什么要错位书写的道理。 最后将所有的积相加，就是1214的计算结果。在点子图中寻觅竖式计算的足迹，帮助学生还原最简单、最直观的道理和方法，使算理与算法融为一体。在进行学生前测时，多数学生掌握的是计算的流程，但是为什么这样计算，竖式是怎样演变来的，人类为什么这样规定计算流程，激发了学生的学习需求。点子图将“冷冰冰”的算法和“神秘秘”的算理，揭示得如此透彻，让学生清楚“法中见理，理中得法，原本不可剥离”。回顾以往的教学，不
8、少老师认为计算教学没什么道理可讲，或者不重视引导学生探索计算的过程，或者当学生刚刚探索出方法后，就立即引导学生学习竖式，在学生对竖式运算的每个环节没有真正理解的情况下就开始追求计算方法，这就很可能造成学生在没有真正理解道理的情况下，只能靠记忆法则来习得方法和技能。这显然对学生的发展是不利的，而这节课恰恰体现了算理与算法有机融合的鲜活而典型的案例。因此，教师要给学生提供可以操作、圈画的素材，促使学生有意识地审视自己的操作过程，自觉地把操作过程中所获得的认识进行整理提升，使抽象的算理变得直观形象，使学生在明理中顺利、自然的掌握了算法，促进学生思维的发展，提高运算能力。二、如何建立模型思想“模型思想
9、”是新增的核心概念，标准指出：”模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”。标准首先说明了模型思想的价值，即建立了数学与外部世界的联系。小学阶段有两个典型的模型“路程速度时间”、“总价单价数量”。 方程是个建模的过程，怎样帮学生建立好这个数学模型？从事件中寻找等量关系，列出方程，可以说是一种建立数学模型的过程；如何让学生更好的经历这个建模的过程，
10、使学生更轻松的接受这个模型，我认为单方面去让学生经历从事件中提取还不能够让学生充分接受。“数学源自生活，又回归于生活”这就告诉我们，建立数学模型应该是提取加还原的过程，所以，在教学中，前期我们可以搜集较为丰富的生活事件，引导学生不断地经历提取等量关系，列方程的过程；但在后期应让学生面对方程这个已有模型，让学生去赋予它更多现实含义，当学生能够把模型与生活建立联系时，他才真的开始接受这个模型了。1.方程是个建模的过程下面以陈千举老师方程一课的教学流程为例，说明如何在体现模型思想的同时，又渗透了从算术思维向代数思维的过渡？【片段1】借助天平建立方程 陈教师大胆地在教具上做文章，把过去由教室一手操作的
11、电脑中的天平变成了孩子们可以任意动手摆动得纸制天平。动态演示，直观解读，让学生在直观教具模型的动态演示中感悟理解方程的意义。因此课堂上出现了学生可以自己可以动一动的天平模型。 随着天平上物体的变化，学生把“未知的物体”作为“已知量”参与“寻找等量关系”的探索，天平让学生很容易认识到左右两边物体质量的关系，有利于直接寻找到表示左右两边相等的式子。寻找等量关系对于建立方程概念显得很是重要。动态天平模型的出现，为学生理解“含有未知数的等式叫做方程”给与了重要的认知支持。【片段2】寻找内隐的天平 并不是所有的情景都是称质量，离开了天平情景，学生该怎么做呢？对寻找心中的天平，找出等量关系是关键。 师：下
12、面请同学们看图，你能在此图中找到一组相等的关系吗？生1：每块月饼质量4=380 师：每块月饼质量不知道，我们可以用什么来表示？生2：我们可以用字母表示。 师：你能利用一个式子来表示这组相等的关系吗？（组织学生自己写：） 生3：4x=380 生4: 4A=380 师：没有天平了，你们通过心中的天平也找到了等量关系，列出了方程。看来，天平的威力还真不小。 师：再看这幅图，先说说图意，其中的等量关系是什么？请用个式子表示这组相等的系。（学生独立思考、写出答案后交流。）生5：一个大水壶能盛2000毫升水，刚好倒满2个热水瓶和1纸杯，纸杯的容量是200毫升。生6：这幅图的等量关系：两个热水瓶的盛水量20
13、0毫升=2000毫升 相等关系可以用2x+20=2000。 师：你是用什么表示每个暖瓶的盛水量的？ 生6：我是用x来表示的。师：生活情境中找到等量关系，就可以找到方程的影子。（教师请一名学生和自己站在一起），问：我们两个在这儿一站，有方程吗？ （1）指名让学生为站在一起的老师和学生构造方程，师在其中有目的地追问相应的等量关系。（2）同学身高x厘米，我们两个相差32厘米，陈老师身高180厘米。师：这次你都能列出哪些方程？ （x32=180 180x=32 18032=x）教师创设看似寻常不过的情境，在学生寻找方程的过程中，让学生不仅再一次加深了对方程意义的理解；更重要的是让学生感受到方程就在我们
14、的身边，生活中处处有方程。【片段3】在讲故事中理解方程 陈老师的课堂别开生面，学生在讲故事中感悟理解方程的意义，也给我们带来了新的思考即“面对着抽象的数学概念，小学生需要什么样的数学学习？”20+x=100赋予生活意义，讲个故事。生1：有20个黑鸡蛋，黑鸡蛋和白鸡蛋共100个，白鸡蛋多少个？生2：有100个馒头，陈老师吃了20个，还剩多少个？生3：到超市买东西，付给售货员100元，售货员找回20元，花了多少元？生4：叔叔要去100千米外的河北出差，还剩20千米，已经行了多少千米？ 生5：一个动画片两集全场100分钟，已经播了20分钟，还剩多少分钟就播完？从具体事件中寻找等量关系，列出方程，可以
15、说是一种建立数学模型的过程。老师让学生亲自经历这个建模的过程，使学生自然接受这个数学模型。他引导学生从生活中提取数学模型，又将数学模型回归于生活他说“建立数学模型应该是提取加还原的过程”。因此他在在教学中，引导学生搜集丰富的生活资源，不断地经历提取等量关系，列方程的过程，从而理解方程得意义。最后把抽象的方程与生活情境建立联系，让学生换个思路理解方程，为方程增添些许生命力，从而加深和丰富学生对方程意义地理解。 2.乘法分配律是个建模的过程在学习乘法分配律时，我们可以先通过学生熟悉的生活情景：买套服、买桌椅、买套餐等情景入手，体会乘法的意义，进一步列出算式；接着可以根据这些算式的特点，试着写几个这样的等式，通过计算验证它们结果相等，最后分析算式的特点，进而总结出乘法分配律。在学生理解运算律的过程中，将图、式、数、情景进行沟通和联系，体现多重表达方式。除此之外，我们还可以利用图形的直观性，帮助学生理解乘法分配律
