平行四边形的专题应用

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1、专项 平行四边形中的简朴证明一、平行四边形的性质1在平行四边形BD中，将沿AC对折,使点B落在B处，AB和CD相交于点，求证:OD=OB。 2.如图，在ABC中，点E、F是C上两点,且E=CF,求证: 3如图，在BCD的纸片沿F折叠，使点C与点A重叠，点D落在点G处。 （)求证：AE=AF; ()求证： 二、平行四边形的鉴定4.如图,在ABCD中,F分别为AD，BC上两点,且B=DE,连AF、BE、DF、AF与B相交于M点,DF与CE相交于N点，求证:四边形FEN为平行四边形。如图,A与E互相平分,EC与D互相平分,求证：四边形ABCD为平行四边形。6如图所示，已知E为CD中DC边延长线上一点

2、，且CE,连AE分别交B，D于，G,连AC交BD于O点,连OF。 （1）求证：AF=F; (2)DE=4F专项 平行四边形中的面积问题【措施归纳】:充足运用平行四边形的性质及常用的数学思维措施解决与面积有关的问题一、 方程的思想1 如图，在ABCD中，于E,于，已知AE4，A=6，BCD的周长为40，求ABCD的面积。 2 如图，E是BCD内任一点，若，则_ 二、分类讨论的思想3在面积为15的平行四边形ACD中,过点A作A垂直于直线B于点E，作AF垂直于CD于点F，若AB，BC=6,则CCF的值为（ )A. . 或 D.或三、数形结合的思想4基本图形:如图,在ABCD中,A，BD交于点O，过点

3、O任作直线分别交A，BC于E,F。 基本结论：(）图中的全等三角形有：_ (2)图中相等的线段有：_ （)与四边形E周长相等的四边形是_ (4)过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形提成面积相等的两部分,即_ 应用:如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形,A(5,0）,C（1,4),过点P（0，2)的直线分别交于OA,BC于M、,且将OAB的面积提成相等的两部分,求点M、的坐标。专项 构造三角形中位线【措施归纳】:中点问题的解决措施较多,构造三角形中位线是常用措施之一一、连接两点构造三角形中位线1.如图，E、F、G、H分别为四边形ABD四边的中点,试判断四边形FH的形状并予以证

4、明。2如图，在中，,于D,、分别为B、BC的中点。求证：DE=D。 .如图，点P是四边形ABCD的对角线BD的中点,E、F分别是A、CD的中点,A=，探究E与F之间的数量关系，并证明。 .如图,点为AC上一点，分别以A、BC为边在AC同侧作等边和等边，点P、N分别为AC、AD、C的中点。 (1)求证:PM=N;（2）求的度数 二、运用角平行线垂直构造中位线5.如图，在中，点M为BC的中点，A为的外角平分线,且，若AB=12，AC18，求M的长。 6如图，在中，BBC,，F为BC上一点,M为的中点，E平分，且,求证:CF= 三、倍长构造三角形中位线7.如图，在中,AB,为等腰直角三角形,M为F的

5、中点，求证：M=CF。 四、取中点构造三角形中位线8如图,四边形ACD中，、N分别为A、BC的中点,连BD，若AB10,CD8,求的取值范畴。 9如图,在中,=CB,、分别为CA、CB上一点,CECF，M、N分别为AF、BE的中点,求证:AE=MN。 0如图，点P为的边B的中点，分别以B、AC为斜边作和，且，求证：PD=PE。 专项 矩形中的折叠与勾股定理1.如图，在矩形纸片BCD中,AB=12，B=5，点在AB 上，将沿D折叠，使点A落在BD上的A处，求AE的长。 2.将一张矩形AD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重叠,点与点F重叠（E、F均在D上），折叠分别为BH、DG。 (1)求证： (

6、)若AB=，BC=8,求F的长。 3.如图,在矩形BCD中，A=3，C=4，沿EF折叠,折痕为EF,使点C落在A点处，点D落在点G处。 (1)求证:E=A； （2）求E的长; (3）求的长。 4.(1)操作发现：如图,在矩形BC中,E是AD的中点，将沿BE折叠后得到，且点G在矩形AC内部,小明将B延长交DC于边F，觉得FDF，你批准吗？请阐明理由。 (2)问题解决：保持(）中的条件不变,若DC=2DF,求的值; ()类比探究:保持()中的条件不变，若DC=D,直接写出的值：_ 专项 构造斜边上的中线【措施归纳】：遇到直角三角形斜边中点时，往往连斜边上的中线基本图形:已知和都是，基本结论:图中,

7、若A=OB,则OA=OB=O,若OA=OD，则OB=OD，若OBOD,则OA=D。 图2中，若A=OB，则A=OD=OC=OB,图3中,若O=，则OAO=OC=OB。1如图，和中,O为BC的中点，BD，CE交于A，求证:DEOE .如图，在中,于D,于E,点M、N分别是BC,DE的中点,(1)求证：； (2）连ME，MD,若,求的值。 3.如图,在中，A=C，点E、分别在AB，A上,且E=EF，点O,M分别为A,E的中点,求证:（1）OM=C;()OBM 4如图，中，于B,于A,求证:=AB。专项 灵活运用菱形的性质如图，菱形ABC中,点为上一点，且 (）求证：(2)若,AD=,求DE的长。

8、2.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点落在边A上的一点,折痕的一段G点在边B上，另一端在D上,AB8,BG=10. (1)求证：四边形EF为菱形； （2）求G的长。 .如图,四边形ABC与四边形AECF都是菱形,点EF在B上，已知，求的值。 4.如图,菱上形ABCD的边长为2，且,点是B的中点，点P为BD上一点，且的周长最小、 （1)求的度数； （2)在B画出点的位置，并写出作法; （3)求周长的最小值。 .如图，在中，,AC4，BC3,D为AB上一点,以CD、B为边作菱形DE,求的长。 专项 灵活运用菱形的鉴定1.如图，在B中,E为C上一点，连AE、BD，且AE=B, (1)求证: (2)

9、若,求证：四边形ABD是菱形 .如图,在中，A是边B上的中线,AE/B，D/A,与C交于点O,连C (1）求证：D=E； （)若,求证:四边形ADCE是菱形。 3如图，在四边形ABC中，BA，C=CD，是CD上一点，B交A于F （)求证： （2）若AB/CD，试证明四边形BCD是菱形； (3）在(2）的条件下,试拟定E点的位置，使，并阐明理由。 4.如图，点为AB上一点，以AE、BE为边在AB 同侧作等边和等边，点P、Q、M、N分别是A、C、D、DA的中点。 （1)判断四边形PNMQ的形状，并证明; (2）的度数为_（直接写出成果) 专项 正方形中的简朴证明【措施归纳】：运用正方形的边、角、对

10、角线的性质进行简朴的线段关系、角度关系及位置关系的证明。.如图,正方形AB中,对角线AC、B相交于点O,M、N分别在O、B上,且OM。(1）求证： BMN;(2)若M、分别在、O的延长线上,则(1)中的两个结论仍成立吗?请阐明理由。 2如图，E是正方形ABCD中边上的中点，B，CE相交于点F。 (）求证：EB=C; （)求证： （)求证： （4）过F作FG/E交BC于G,求证:GC。 .如图，已知正方形ABD，点在对角线BD上，交BC于E,垂足为F点。 （1)求证: （2）求证:F=F； (3）求证:DP=C； 4正方形ACD和正方形AEFG有公共顶点A,将正方形AFG绕点A按顺时针方向旋转,

11、记旋转角,其中，连DF、BF，如图。 (）若，则DF=B,请加以证明; (）试画出一种图形（即反例）,阐明（1)中命题的逆命题是假命题； （3)对于（1)中命题的逆命题,如果能补充一种条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你觉得需要补充的一种条件，不必阐明理由。 专项 中点四边形【措施归纳】:中点四边形的形状一般通过三角形中位线定理来证明四边形AB中，点、F、G、H分别为AB、C、C、AD的中点。、1如图，求证:四边形FG为平行四边形。 2(1）如图1，若四边形ACD是矩形，求证：四边形E是菱形。 （2）如图,若AB,则四边形EH的形状是_ 3(1）如图，若四边形ABC是菱形，求证：四边形FG

12、H是矩形。 （2）如图2，若,则四边形FGH的形状是_ 4.（1)如图,若四边形ABC是正方形,则四边形EFGH的形状是_ (2）如图2，若AC=BD，求证:四边形EH是正方形。 5.如图,四边形ABD中,A=D,E、G、分别是BD、BC、AC、AD的中点,求证:四边形FH是菱形。6.如图，CAC,CDE，,M、G、H分别为AE、AB、BD、DE的中点,求证:四边形H为正方形。 专项 运用正方形的性质求点的坐标【措施归纳】:运用正方形边角的性质构造全等三角形求点的坐标。基本图形：已知正方形AC，过、D两点分别向过点C的直线作垂线，垂足分别为E、F，则 一、运用垂直且相等构造全等求坐标如图,A（-1,0），B(0，3),以AB为边作正方形ACD，求C，D的坐标。 如图,边长为2的正方形AB的A边与轴的夹角为,求,C的坐标。 3如图,E（-，0）,A（0,4），延长EA至D，使D=E，四边形CB为正方形, (1)求点C的坐标;(2）求C的长。 二、运用面积法求点的坐标4如图，（-3,4)，四边形OA为正方形,AB交轴于D。 (）求点的坐标;（2）求点D的坐标。 专项 正方形中的动态问题【措施归纳】：抓住图形之间的联系,辅助线及解题思路