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1、2022年小学数学奥数基础教材(三年级)本教程共30讲第30讲 包含与排除同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题：(1) 两个面积都是4厘米2的正方形摆在桌面上(见左下图)，它们遮盖住桌面的面积是8厘米2吗？(2)一个正方形每条边上有6个点(见右上图)，四条边上一共有24个点吗？聪明的同学马上就会发现：(1)两个正方形的面积和是8厘米2，现在它们有一部分重叠了。因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米2。(2)四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重
2、复计算的点，所以共有 64-4 20(个)点。这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法。一般地，若已知A，B，C三部分的数量(见右图)，其中C为A，B的重复部分，则图中的数量就等于A B- C。因为A，B有互相包含(重复)的部分C，所以，在求A和B合在一起的数量时，就要在AB中减去A和B互相包含的部分C。这种方法称为包含排除法。实际上，我们前面已经遇到过包含与排除的问题。如，第10讲“植树问题”的例3和例4，只不过那时我们没有明确提出“包含排除法”。例1 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？解：因为焊接部分为两
3、根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长38 53- 4 87(厘米)。例2某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？分析与解：如上页左下图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分(阴影部分)表示同时参加两个小组的人。图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28-1216(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29-1217(人)(见上页右下图)。由此得到参加语文或数学兴趣小
4、组的有16 12 17 45(人)。根据包含排除法，直接可得28 29- 12 45(人)。例3 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？分析与解：与例2对比，本例已知全班总人数，如果能仿照例2求出参加了美术或音乐小组的人数，那么只需用全班总人数减去这个人数，就得到所求的人数。根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为12 23- 5 30(人)。所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46-30=16(人)。综合列式为46- ( 12 23- 5) 16(人)。例4 三年级科技活动组共有6
5、3人。在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人。每个同学都至少完成了一项活动。问：同时完成这两项活动的同学有多少人？分析与解：因423476，7663，所以必有人同时完成了这两项活动。由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)63。由减法运算法则知，完成两项活动的人数为76-6313(人)。例5 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？分析与解：如右图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数
6、，B圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数。前100个自然数中能被2整除的数有1002=50(个)。由 1003 33 1知，前 100个自然数中能被 3整除的数有 33个。由 100(23) 164知，前 100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个。所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数。因为A，B都包含C，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有50 33- 16 67(个)。练习301.三年级四班组织了一次象棋和军棋的棋类比赛，参加象棋比赛的有35人，参加军棋比赛的有24人，有16人两项比赛都参加了。这个班参加
7、棋类比赛的共有多少人？2.某校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人。这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？3.一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了。一班有多少人两项比赛都没有参加？4.甲、乙两家合住在一套单元房里。甲家能够使用的面积(包括厨房、厕所、走廊等，下同)有56米2，乙家能够使用的面积有65米2，甲、乙两家都能使用的面积有30米2。求这套单元的使用面积。5.在自然数1100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？6.在自然数1100中，不能被2，3中任一个整除的数有多少个？答案与提示练习301.
8、43人。解：3524-16=43(人)。2.21人。解：1018-7=21(人)。3.9人。解：45-(2622-12)=9(人)。4.91米2。解：5665-30=91(米2)。5.47个。解： 1003=331，1005=20，100(35)610。3320-647。6.33个。解： 1002=50，1003=331，1006164。100-(5033-16)33。附送：2022年小学数学奥数基础教材(六年级)本教程共30讲找规律同学们从三年级开始，就陆续接触过许多“找规律”的题目，例如发现图形、数字或数表的变化规律，发现数列的变化规律，发现周期变化规律等等。这一讲的内容是通过发现某一问题
9、的规律，推导出该问题的计算公式。例1 求99边形的内角和。分析与解：三角形的内角和等于180，可是99边形的内角和怎样求呢？我们把问题简化一下，先求四边形、五边形、六边形的内角和，找一找其中的规律。如上图所示，将四边形ABCD分成两个三角形，每个三角形的内角和等于180，所以四边形的内角和等于1802= 360；同理，将五边形ABCDE分成三个三角形，得到五边形的内角和等于1803540；将六边形ABCDEF分成四个三角形，得到六边形的内角和等于1804720。通过上面的图形及分析可以发现，多边形被分成的三角形数，等于边数减2。由此得到多边形的内角和公式：n边形的内角和=180（n-2）（n3
10、）。有了这个公式，再求99边形的内角和就太容易了。99边形的内角和=180（99-2）17460。例2 四边形内有10个点，以四边形的4个顶点和这10个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？分析与解：在10个点中任取一点A，连结A与四边形的四个顶点，构成4个三角形。再在剩下的9个点中任取一点B。如果B在某个三角形中，那么连结B与B所在的三角形的三个顶点，此时三角形总数增加2个（见左下图）。如果B在某两个三角形的公共边上，那么连结B与B所在边相对的顶点，此时三角形总数也是增加2个（见右下图）。类似地，每增加一个点增加2个三角形。所以，共可剪出三角形 4 2 9= 22（个）。如果将例2的“
11、10个点”改为n个点，其它条件不变，那么由以上的分析可知，最多能剪出三角形42（n-1）=2n2=2（n1）（个）。同学们都知道圆柱体，如果将圆柱体的底面换成三角形，那么便得到了三棱柱（左下图）；同理可以得到四棱柱（下中图），五棱柱（右下图）。如果底面是正三角形、正四边形、正五边形那么相应的柱体就是正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱例3 n棱柱有多少条棱？如果将不相交的两条棱称为一对，那么n棱柱共有多少对不相交的棱？分析与解：n棱柱的底面和顶面都是n边形，每个n边形有n个顶点，所以n棱柱共有2n个顶点。观察三棱柱、四棱柱、五棱柱的图形，可以看出，每个顶点都与三条棱相连，而每条棱连接 2个顶点，所以n
12、棱柱共有棱 2n32=3n（条）。进一步观察可以发现，n棱柱中每条棱都与4条棱相交，与其余的3n4-1 =（3n5）条棱不相交。共有3n条棱，所以不相交的棱有 3n（3n- 5）（条），因为不相交的棱是成对出现的，各计算一遍就重复了一遍，所以不相交的棱共有3n（3n-5）2（对）。例4 用四条直线最多能将一个圆分成几块？用100条直线呢？分析与解：4条直线时，我们可以试着画，100条直线就不可能再画了，所以必须寻找到规律。如下图所示，一个圆是1块；1条直线将圆分为2块，即增加了1块；2条直线时，当2条直线不相交时，增加了1块，当2条直线相交时，增加了2块。由此看出，要想分成的块尽量多，应当使后
13、画的直线尽量与前面已画的直线相交。再画第3条直线时，应当与前面2条直线都相交，这样又增加了3块（见左下图）；画第4条直线时，应当与前面3条直线都相交，这样又增加了4块（见右下图）。所以4条直线最多将一个圆分成11234=11（块）。由上面的分析可以看出，画第n条直线时应当与前面已画的（n1）条直线都相交，此时将增加n块。因为一开始的圆算1块，所以n条直线最多将圆分成1（123n）=1n（n+1）2（块）。当n=100时，可分成1100（1001）2=5051（块）。例5 用3个三角形最多可以把平面分成几部分？10个三角形呢？分析与解：平面本身是1部分。一个三角形将平面分成三角形内、外2部分，即
14、增加了1部分。两个三角形不相交时将平面分成3部分，相交时，交点越多分成的部分越多（见下图）。由上图看出，新增加的部分数与增加的交点数相同。所以，再画第3个三角形时，应使每条边的交点尽量多。对于每个三角形，因为1条直线最多与三角形的两条边相交，所以第3个三角形的每条边最多与前面2个三角形的各两条边相交，共可产生3（22）= 12（个）交点，即增加12部分。因此， 3个三角形最多可以把平面分成11612= 20（部分）。由上面的分析，当画第n（n2）个三角形时，每条边最多与前面已画的（n1）个三角形的各两条边相交，共可产生交点3（nl）2=6（n1）（个），能新增加6（n1）部分。因为1个三角形时有2部分，所以n个三角形最多将平面分成的部分数是2612（n1）当n=10时，可分成2310（101）=272（部分）。练习161.求12边形的内角和。2.五边形内有8个点。以五边形的5个顶点和这8个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？3.已知n棱柱有14个顶点，那么，它有多少条棱？4.n条直线最多有多少个交点？5.6条直线与2个圆最多形成多少个交点？6.两个四边形最多把平面分成几部分？ 答案与提示练习1
