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1、2.4.2 抛物线的简单几何性质【学习目标】1了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质2会利用抛物线的 性质解决一些简单的抛物线问题问题导学知识点一 抛物线的范围思考 观察下列图形，思考以下问题(1) 观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2) 根据图形及抛物线方程y2=2px(p0)如何确定横坐标x的范围？答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两 个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心 抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心2px y 2 2 0, 由
2、抛物线y2=2px(p0)有所以x20.所以抛物线x的范围为x20抛物线在p0,y轴的右侧，当x的值增大时，丨y丨也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.知识点二 抛物线的对称性、准线方程抛物线四种形式的性质如下表所示：标准方程图形范围顶点坐标对称轴焦占八、八、坐标准线方程离心率y2=2px(p0)x20，yWR(0,0)x轴(p，0)x=-2e1y2=-2px(p0)3xWO,yWR(0,0)x轴(-2,0)x=2e1x2=2py(p0)2xR,y0(0,0)y轴(0,p)=Py=2e1x2= 2py(p0)7xR,yW0(0,0)y轴(0，2)=Py=2e1知识点三 直线与抛物线的位
3、置关系y=kx+b,直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组心解的个$2 = 2px数，即二次方程k2X2 + 2(kbp)x + b2 = 0解的个数.当kMO时，若/0,则直线与抛物线有两个不同的公共点；若力=0时，直线与抛物线有二 个公共点；若力0).抛物线的焦点到顶点的距离为3, 即2=3， p= 6.抛物线的标准方程为y2=12x或y2= 12x, 其准线方程分别为x=3或x=3.反思与感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1) 开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y, 一次项的系数是正 还是负(2) 关系：顶点位于焦点与
4、准线中间、准线垂直于对称轴(3) 定值：焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒 等于 1.跟踪训练1已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2+y2=4相交于A、B 两点，IABI = 23，求抛物线方程.解由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.故可设抛物线方程为：y2=ax(aZ0).设抛物线与圆x2+y2=4的交点A(x1，y1), B(x2，y2).T抛物线y2=ax(aZ0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称，.点A与B关于x轴对称，?.ly1l = ly2l 且ly1l + %1 = 2 V3， ly1l = ly2l
5、=l3，代入圆 x2+y2=4,得 x23= 4， x= 1 ，/.A(1，3)或A(1,73),代入抛物线方程，得：CJ3)2=a, .a=3.所求抛物线方程是：y2=3x或y2=3x.类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题例2 (1)过抛物线y2=8x的焦点，倾斜角为45的直线被抛物线截得的弦长为. 直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若IABI = 8,则直线l的方程为(3)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2, y2)，若IABI = 7,则AB的中 点 M 到抛物线准线的距离为答案(1)16 (2)x+y-1 = 0 或 x-y-1=0
6、 (3)2解析(1)由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x2,代入y2=8x 得(x2)2=8x 即 x2 12x4= 0. 所以 x1 x2= 12，弦长为 x1 x2p= 124= 16.(2) T抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),若l与x轴垂直，则IABI = 4,不符合题意，:可设所求直线l的方程为y=k(x1).y=k(x_1),由得 k2x2(2k2+4)x+k2=0,、y2=4x2k24则由根与系数的关系，得x1+x2 = k2 .又AB过焦点，由抛物线的定义可知IABI,2k2+4=x1+x2+p=k2+2 = 8,2k2+4k2=6,解得k=1,：所
7、求直线l的方程为y+xl=O或xy1=0.(3)抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x= 1.由抛物线定义知IABI = IAFI + IBFI =x1 +x2+p, 即X+x2+2=7，得X+x2=5，于是弦AB的中点M的横坐标为|,又准线方程为x= 1,57因此点M到抛物线准线的距离为2+1=2*反思与感悟(1)抛物线上任一点P(x0, y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径, 对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为： 抛物线 y2=2px(p0)，IPFI = lx0+2l=p+x0； 抛物线 y2=2px(p0)，IPFI = Ix0fufx0； 抛物线 x2=2py(
8、p0), IPFI = ly0+2l=p+y0；抛物线 x2 = 2py(p0), IPFI = ly0 pl2y0.(2)已知AB是过抛物线y2=2px(p0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1, y1), B(x2, y2), 则：p2 yry2=_p2,片x2= 4 ； IABI=X+x2+p=Sin(0为直线AB的倾斜角)；Sabo=2sin 为直线AB的倾斜角);1 =2IBFI=p；以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(3) 当直线经过抛物线的焦点,且与抛物线的对称轴垂直时,直线被抛物线截得的线段称为抛 物线的通径，显然通径长等于2p.跟踪训练2已知直线l经过抛物线y2=6x的
9、焦点F,且与抛物线相交于A、B两点.(1) 若直线l的倾斜角为60，求IABI的值；(2) 若IABI = 9，求线段AB的中点M到准线的距离.解(1)因为直线l的倾斜角为60,所以其斜率k=tan 60=；3.又f|，0),所以直线l的方程为y=/3(x2).y2=6x，9联立=诟（|消去y得x25x+4=0.若设 A（X, y1），B（x2，y2）.则 x1+x|=5,而 IABI = IAFI + IBFI =X +2+x?+2=X+x2+p，所以 IABI = 5 + 3 = 8.设 Ag, y1), B(x2， y2),由抛物线定义知IABI = IAFI + IBFI = x1 +
10、2+x2 +2=x1+x2+p=x1x23，3 所以X+x2=6.于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方程是工=一2,39所以M到准线的距离等于3+3=2.类型三 抛物线中的最值问题例3如图，已知抛物线C的顶点为0(0,0),焦点为F(0,1).(1) 求抛物线C的方程；(2) 过点F作直线交抛物线C于A, B两点.若直线AO, BO分别交 直线1： y=x-2于M, N两点，求IMNI的最小值.解(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p0),贝则2=1，所以抛物线C的方程为x2=4y.设 A(x1, y1), B(x2, y2),直线 AB 的方程为 y=kx+1. y=kx+1
11、,消去y,整理得x24kx4 = 0, x2=4y所以 x1 + x2= 4k从而 Ix1 x2I=4 冷 k2 +1.吓2=4由y+y=七， 丿X、y=x2,2x2x8解得点M的横坐标xM=i=X1X2=4-. m x1y1 x X2 4x1X1 48同理，点N的横坐标xN=4.8 一 84x1 4x28迈寸k2+1=I4k3I ，所以 IMNI = 2IxMxNI = 2x1x2乳迅4(X +x2) +16令 4k3 = t, tM0,则 k=牛3.256当 t0 时，IMNI = 2：2 .+； +12冷2.c.由抛物线的定义可知IPFI = IPNI,当 t 0)的 对称轴上的一个定点
12、，在抛物线上求一点N使得IMNI最小.其解法为：设y2=2px(p0)上一 点为 N(x0, y0),贝q y2=2px0, 故IMNl2=(x0_a)2+y2=xo_2ax0+a2+2px0= x。一 G_p)_p2 +2ap(x0 三 0). 当ap时，x0=a_p使IMNI最小，则N(a_p,士J2p(a_p). 当aWp时，x0=a使IMNI最小，则N(0,0).(3) 除了上述几何法、二次函数法解决此类问题外，还要注重不等式方法的应用及利用函数的 单调性求解最值问题.跟踪训练3抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x, y)为该抛物线上的动点，若点A(1,0),则扁的最小值是()1a2D.答案 B解析 抛物线y2=4x的准线方程为x= 1, 如图，过P作PN垂直x= 1于N,连接 P4,在 RtAPAN 中，sinZP4N=顾,IPNIIPAIIPFIIPAI最小时,sinZPAN 最小，即ZPAN最小，即ZPAF最大，此时， PA 为抛物线的切线设PA的方程为y=k(x+l),联立y=k(x+1),、y2=4x,得 k2x2+(2k24)x+
