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1、第六章参数估计一、知识点1. 点估计的基本概念2. 点估计的常用方法(1) 矩估计法基本思想：以样本矩作为相应的总体矩的估计，以样本矩的函数作为相应的总 体矩的同一函数的估计。(2) 极大似然估计法设总体X的分布形式已知，其中 = (0 ,0 ,A ,6 )为未知参数，(X ,X ,A X )12 k12 n为简单随机样本，相应的(气,七,A ,气)为它的一组观测值.极大似然估计法的步 骤如下： 按总体X的分布律或概率密度写出似然函数L(x , x ,A , x ;0 ) = H p(x ;0)(离散型)12nii=1L(x , x ,A , x ;0 ) = H f (x ;0) (连续型)
2、12nii=1若有 6 (x , x ,A , x )使得 L(x , x ,A ,x ;6) = maxL(x , x ,A , x ;6)，则 1 2 n1 2 n6w12 n称这个6”为参数6的极大似然估计值。称统计量6(X , X ,A , X )为参数6 12n的极大似然估计量。 通常似然函数是6的可微函数，利用高等数学知识在6 ,6 ,A ,6可能的取值l12 k范围内求出参数的极大似然估计 = (x ,x ,A ,x ),l = 1,2,A ,kl l 12 n将x,换成X,得到相应的极大似然估计量4 U一 一6 =6 (X ,X ,A ,X ),l = 1,2,A ,kl l
3、12n注：当L(x , x ,A , x ;6 )不可微时，求似然函数的最大值要从定义出发。 12n3. 估计量的评选标准无偏性：设6 = 6(X ,X ,A X )是参数6的估计量，如果E(6) =6，则称6为6的无12 n偏估计量。(2)有效性：设6，6是6的两个无偏估计，如果D(6 ) D(6 )，则称6较6更有效。1212124. 区间估计定义 设总体X的分布函数族为F (x;0 ),0 e .对于给定值a (0 a 1)，如果有两 个统计量9 =9 (X ,A ,X )和0 =0 (X ,A ,X )，使得尸9 0 1 a 对一111n 221n12切9 G0成立，则称随机区间(9
4、,9 )是9的双侧1a置信区间，称1a为置信度；分12,八八 别称七和9 2为双侧置信下限和双侧置信上限.一个正态总体下未知参数的双侧置信区间(置信度为1-a)单侧置信区间估计参数统计量置信区间H。2已知u = N(0, 1) Vn- X = u , X + u、 眼2眼七/2未知t =t(n 1) Dyjn(-S- SX M (n 1), X+ 顼(n 1) 顼n七插七)。2H未知(n 1) S 2,1、X 2 =-X 2(n 1) 2(n 1) S 2(n 1) S 2X2(n 1)X2 (n 1) a1a/习题二、1.选择题(1) 设X1, X2,A , Xn是来自总体X的一个样本，则以
5、下统计量1 ,、1 z,_(X1 + X )-(-X1 + 2X2 + X3 + X4A + X )1布(2X1 + 3X2 + 3Xn1 + 2X作为总体均值目的估计量，其中是日的无偏估 计的个数是A.0B.1C.2D.3(2) 设X1,X2,X3是来自正态总体N3,1)的样本，现有R的三个无偏估计量.131.115.111口 = X+ X+ X ; 口= X+ _ X + X ; 口 = X + _ X + X1511022 3 231421233316223其中方差最小的估计量是A. HB. HC. HD.以上都不是123(3) 设0,1,0,1,1为来自0-1分布总体B(1,p)的样本
6、观察值，则p的矩估计值为 。1A.-52B.-54D.-5(4) 设0,2,2,3,3为来自均匀分布总体U (0,9 )的样本观察值，则0的矩估计值为。A.1B.2C.3D.4设X1，X2,A , X”是来自总体X的一个样本，X的密度函数为（以一x）,0 v x V以f （X；以）= 以 20, 其他则参数a的矩估计量为 = 。A. - X B. X C. 3X D. 6X3(6)无论a 2是否已知，正态总体均值R的置信区间的中心都是 B. a 2C. XD. S 2 设总体X N(日,a2),a2已知，则总体均值曰的置信区间长度L与置信度1a的关系是。A.当1 a缩小时，L缩短 B.当1a缩
7、小时，L增大C.当1a缩小时，L不变 D.以上说法均错.2.填空题(1) 若一个样本的观察值为0,0,1,1,0,1,则总体均值的矩估计值为,总体方差 的矩估计值为。(2) 总体未知参数0的极大似然估计0就是 函数的最大值点。设X U (0,0),0 0，则0的矩估计量和极大似然估计量分别为。 设总体X服从几何分布PX = k= p(1 p)k1,k = 1,2,A . XX2,A , X是来自X的一个样本，则p的矩估计量和极大似然估计量分别为(5)设由总体XF(x,0)(0未知)的样本观察值求得P35.5 v0 v 45.5 = 0.9，则 称 为0的一个置信度为 的置信区间。 设由来自总体
8、X N(r,0.92)容量为9的简单随机样本的样本均值X = 5，则未 知参数R的置信度为0.95的置信区间为。设来自总体X N(日,02),02未知，容量为16的简单随机样本的样本均值无=10，样本方差s2 = 400，则未知参数日的置信度为1-a的置信区间为设总体X N(p,02), X,X2,A ,Xn是来自X的样本，当用2X X1,X及1 21一，2 X1 * 3 X2 - 6 X3作为口的估计时，最有效的是设X1, X2,A , X和Y , Y ,A , Y是分别来自总体X N（四,1）和Y N（四,22）的两个样本，i=1目的一个无偏估计有形式T = a EX, + bYj.则a和
9、b应该满足条j=i件.；当a =时，T最有效。3.计算题设总体X B(m, p)，即参数为m,p的二项分布，P为未知参数，X, X2,A , X”为简单随机样本，分别求P的矩估计量和极大似然估计量。|(0 +1)x0,0 x -1是未2e2（0-x）,x 00, x 0为未知参数，X 1, X 2,A , Xn为简单随机样本，求参数0的极大似然估计量。设X1, X 2,A , Xn是来自正态总体N(四,0 2)的一个样本，适当选取如使得 cE1(X +1 - X,*为o 2的无偏估计量。i=1已知某种木材横纹抗压力的实验值X N(四,02)，对10个试件做横纹抗压力的试验数据如下：482,49
10、3,457,471,510,446,435,418,394,496(单位：公斤/平方厘 米)，试以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力：o 2未知; o 2 = 302。(6)为了解灯泡使用时数的均值P及标准差o，测量10个灯泡，得X = 1500A,S = 20h .如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求四和b的95%的置信区间.(7) 某厂生产的瓶装运动饮料的体积假定服从正态分布，抽取10瓶，测得体积(毫升)为 595,602,610,585,618,615,605,620,600,606。求出方差的置信度为 0.90 的置信区间。(8) 随机地取某种炮弹9发做试验.求得炮口速度的样本
11、标准差s = 11m/s.设炮口速度总体X N(日q2)，求炮口速度的均方差b的置信度为0.95的双侧置信区间。4.证明题设X1，X 2, A , X”是来自正态总体N(四,。2)的一个样本，其中口已知证明：估一 15 一一计量S” = 才(Xj -|1 )2是b 2的无偏估计量。i=1 设X1，X2,A , X为总体X的一个样本，记R为总体均值，a . (i = 1,2,A , n)是常数，且乙=1。ii=1证明：Xa X是日的无偏估计;i=1 证明在日的所有形如 a X 的线性无偏估计中，以X为最有效。i =1三、练习题参考答案1.2.选择题(1) C； (2) B； (3) C； (4)
12、 D； (5) C； (6) C； (7) A；填空题八1八1(1)日=r,b =丁 (2)似然 (3)2411(4) = ,=(5) . (35.5, 45.5)X X(7) -5匕.2(15),10 + 5匕.2(15)2 X ,maxk 1i n (6) (4.412, 5.588)(8) X(9)4a =4n + m14n + m3.计算题又(1)解： X B(m, p)，p = E(X) = mp, |i = X,故 p =，即为 p 的矩估计量 m X B(m, p)， PX = k= Ck pk (1 - p)m ，似然函数为:m珈)=n CM%(i 一 p) m - xmi =
13、1L (m 一 x,)i=1求对数In L(0)= lnm i=1k . 1 m J i = 1xVi=1 i Jln p + L (m - x ) ln(1 - p)i=1求导数的ln珈)=。+p L xi+d ln L(9)令一= 解方程-EP i=1mn Ex p ki=1 Jmn Exi i=1 Exi i=1,所以二=- = m，故p的极大似然估计量为 p 1 v x j xn i=1八又p = 一。m(2)解：矩估计法日=E (X) = j+ xf (x)dx = f1(9 +1) x 0+1dx = 118oO + 2又因为d = A = X，便得0的矩估计为。=：，；。111 X极大似然估计法.由题意有L KT(0 + 1) n (Hx )0 ,0 x 1ii，i=1其他L(0)
