《高一数学函数性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学函数性质（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学高考综合复习 专题五 函数的性质（二） (1)定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使变量X取定义域内的每一个值时，都有f（xT）f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. 认知：()设f(x)定义域为I,则存在非零常数T,使对任意xI都有f(x+T)=f(x)f(x)为周期函数,T为f(x)的一个周期.()对于定义在R上的函数f(x),若T是f(x)的一个周期,则kT(kZ且k0)也是f(x)的周期.(2)延伸:设f(x)定义域为I.()若存在非零常数T,使对任意xI都有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期函数,且2T为f(x)的一个周期.
2、()存在非零常数a,b(ab),使对任意xI都有f(x+a)=f(x+b)（x+a与x+b的差为a-b）f(x)为周期函数,且是f(x)的一个正周期.4.反函数(1)定义:设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C.根据函数y=f(x)中的x,y的关系,导出x=（y）,如果对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应,那么,函数x=（y）(yC)叫做y=f(x)(xA)的反函数.记作x=在函数x=中,y表示自变量,x表示函数,出于习惯和研究的方便,我们常常对调函数x=中字母x,y的位置,将它改写成y=,并且约定:今后凡不特别说明,函数y=的反函数均指这种改写过的形式(矫
3、形反函数).(2)定义的推论由y=f(x)的反函数y=的引出过程可知(1) 两域互换:y=f(x)与y=的定义域和值域互换(2) 等价反解:当f(x)存在反函数时,y=f(x)(xA,yC) x=(xA,yC)(3) 相消性质:注意到两式中x,y的同一性,运用代入手段解, yC (C为反函数的定义域), xA (A为反函数的值域)(3)求反函数的三部曲:()确定f(x)值域;()“反解”函数式:y=f(x) x=;()改写并注明定义域: y=（定义域为y=f(x)的值域）.(4) 反函数的性质反函数除去具有定义推论中的性质之外,还有以下主要性质.()函数y=f(x)的图像与它的反函数y=的图像
4、关于直线y=x对称.这一性质诠释:点(a,b)在y=f(x)图像上点(b,a)在y=图像上即b=f(a) a=(aA,bC)()若y=f(x)(xI)单调,则y=f(x) (xI)有反函数,并且正反函数具有同一单调性.提醒:单调函数必有反函数,但反之不一定成立.即y=f(x) (xI)的反函数存在时,y=f(x)在区间I上不一定是单调的,比如,f(x)=(x0)的反函数存在,且它的反函数就是自身,但是f(x)=在区间(-,0)(0,+ )上不单调.(5) 深入探索()函数的反函数为自身的充要条件:f(x)=y=f(x)图象自身关于直线y=x对称或者f(x)=x.()反函数的奇偶性: 若f(x)
5、为奇函数且存在反函数,则其反函数亦为奇函数; 若f(x)为非奇非偶函数且存在反函数,则其反函数亦为非奇非偶函数; 若f(x)为偶函数,则在定义域是非单元素集合的情况下f(x)不存在反函数.四.经典例题.例1.(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f()=-f(x),又f(2)=1,f(1)=a,则 a= (2)已知函数f(x)的最小正周期为2T,且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x都成立,则对f(x)的奇偶性的判定是?分析: (1)由f()=-f(x)知f(x)是周期函数,且3是f(x)的一个周期,又f(x)为偶函数f(-x)=f(x)(xR)在此基础上,寻觅已知条件中的f(2
6、)与f(1)的联系:f(2)=f(-2)=f(-2)+3=f(1)而f(1)=a,f(2)=1,a=1(2)由f(x)的最小正周期为2T得f(x+2T)=f(x) 又这里f(x+T)=f(T-x) 为了靠拢,在中以(x+T)替代x的位置得f(x+2T)=fT-(x+T)=f(-x) 由, 得f(-x)=f(x)f(x)为偶函数.点评:我们从上面的分析中看到,解决比较复杂的问题,当已知条件中有两个(或两个以上)的等式时,要注意利用其它条件寻觅这两个(或其中两个)等式的内在联系.有关已知等量关系的联系一旦导出,难点便得以突破.例2. 设定义在R上的偶函数f(x)是周期为4的周期函数,且当x-2,0
7、时f(x)为增函数,若f(-2)0,求证:当x4,6时, 为减函数.分析:鉴于f(x)的抽象性,考虑运用函数的单调性定义证明.注意到目标函数为,故在推理过程中要格外关注f(x)的符号.证明: 设,为4,6上任意两值,且, 即 46, 则-6-4 -2440 偶函数f(x)在-2,0上为增函数, f(4)f(4)f(-2) 即f(-4) f(4) 0 f(x)是周期为4的周期函数, f(x4)=f(x) 由得 f()f()0 由得 在4,6上为减函数.点评:从设,为4,6上任意两值且切入,刻意构造关于,的连号不等式,并且在利用函数单调性的过程中一并判定函数值的符号,这一箭双雕的策略或手法值得借鉴
8、.例3. (1)若f(x-1)=-2x+3 (x0),则= (2)若f(x+1)= (x0),则= (3)若f(x)为一次函数,且=25x-30,则f(x)= (4)若f(x)= (,)的反函数为自身,则a= 分析: (1)先求f(x): 由x0得 x-1-1 又f(x-1)= +2 由得 f(x)= +2 (x-1)循着求反函数的”三部曲”令y=f(x),则y=+2 (x-1且y3)反解得x=-( y3)改写得y=-(x3)所求(x3)(2)由已知得f(x+1)= -2(x+1)+1 (x+11)f(x)= (x1)令=a,则f(a)=1故得=1(a1)由此解得a=0,即=0.点评:在可知f
9、(x)解析式的条件下求,一般不用去求,而是利用=u=f(u)转化求解.(3)注意到当f(x)为一次函数时,其反函数也为一次函数,令=ax+b(a0),则=a+b=a(ax+b)+b=x+ab+b由已知得x+(a+1)b=25x-30比较两边的关系为 解得 或 =5x-5 或 =-5x+f(x)=+1(xR) 或 f(x)=-+ (xR)提醒:此题常见错解为f(x)=25x-30,想一想,错在哪里?(4)解法一(着眼于利用点的对称)由已知得点(-,0)在y=f(x)的图象上,点(0,)也在y=f(x)的图像上,f(0)= -由此得a=-2.思考:此解法可靠性如何?解法二(立足于求):令y=,解得
10、x=(y2)=(x2)由f(x)= 得(a+2)+( -4)x-(a+2)=0 求解 a=-2解法三(利用f(x)的两域的特殊性)f(x)的定义域为(-,-a)(-a,+ ), 又f(x)的值域为(-,2)(2,+ ) 又=f(x)f(x)的定义域和值域相同 由得 a=2.例4.已知函数f(x)= ,y=g(x)的图象与y=的图象关于直线y=x对称,求g()的值.典型错解: 由题设知g(x)与互为反函数 = g(x)=f(x+1) 由此得g()=f()=-错因分析:上面正确,由导出出现错误.在这里的反函数是g(x),但 的反函数却不是f(x+1).认知:由求反函数的“三部曲”易知y=f(x+1
11、)的反函数不是y=,而是y=-1;y=的反函数不是y=f(x+1),而是y=f(x)-1.正确解法: (着力于寻求的解析式):由已知得=(x-2)=-(x-3)又由题设知g(x)的反函数为,=- 令g()=b,则= 由得-=,解得b=-1,g()=-1.解法二: (利用正反函数值的转化)令g()=b,则= 又由题设知g(x)的反函数为,= 由得= f()=b+1b+1=0,即b=-1故得g()=-1.解法三: (运用对复合函数的反函数的认知)由题设知的反函数g(x)又的反函数为f(x)-1g(x)=f(x)-1g()=f()-1=0-1=-1.点评:从本例的求解可看到解决反函数问题的“三玩”:
12、一玩“解析式”;二玩“函数值”;三玩“深沉”：对有关复合函数的反函数的认知.当然,面对所给问题还要具体情况具体分析,力求选择适合自己的最好方法.例5.设函数f(x)=(a0,a1)(1) 求f(x)的反函数f;(2) 讨论f的单调性;(3) 若不等式1 f1时,由x1得x+1f(x) 0;当0a1时有x=(y0)改写为f=(x0)当0a1时,有x0, (f)0(等号当且仅当x=0时取值)f在定义域0,+ )上为增函数;()当0a1时,有x0, (f)0(等号当且仅当x=0时取值)f在定义域(- ,0上为减函数.(3)由题设知x0,0a1f在(- ,0上递减.f在(- 2,0)上递减,又f在x=
13、0与x=-2处有定义.f ff(-2) 又由题设知1 f1或0a1的讨论,要一直贯彻解题的整个过程.例6.已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x-1)=f(x+1)=f(1-x),当x2,3时,f(x)=-2(x-3)+4.(1) 求当x1,2时f(x)的表达式;(2) 若矩形ABCD的两个顶点A,B在X轴上,C,D在函数y=f(x)(0x2)的图像上,求此矩形面积S的最大值.分析:从认知f(x)的特性入手,随着对函数f(x)的周期性,奇偶性或函数图象对称性的逐一认识,解题思维便会逐渐明朗.解: 由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2) f(x)是周期函数,且2是f(x)的一个周期. 由f(
