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1、第4章向量代数与空间解析几何习题解答习题4.1一、计算题与证明题1已知, , , 并且 计算解：因为, , , 并且所以与同向，且与反向因此，所以2已知, , 求解： （1） （2）得所以 3设力作用在点, 求力对点的力矩的大小解：因为,所以力矩 所以，力矩的大小为4已知向量与共线, 且满足, 求向量的坐标解：设的坐标为，又则 （1）又与共线，则即所以即 （2）又与共线，与夹角为或整理得 （3）联立解出向量的坐标为5用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形证明：如图所示，因为平行四边形的对角线互相平分，则有由矢量合成的三角形法则有所以即平行且等于四边形是平行四边
2、形6已知点, 求线段的中垂面的方程解：因为,中垂面上的点到的距离相等，设动点坐标为，则由得化简得这就是线段的中垂面的方程。7向量, , 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若, 的坐标分别为, 求向量的坐标解：且它们两两所成的角相等，设为则有则设向量的坐标为则 （1） （2）所以 （3）联立（1）、（2）、(3)求出或所以向量的坐标为或8已知点, , , ，(1) 求以, , 为邻边组成的平行六面体的体积(2) 求三棱锥的体积(3) 求的面积(4) 求点到平面的距离解：因为，,所以（1）是以它们为邻边的平行六面体的体积（2）由立体几何中知道，四面体（三棱锥）的体积（3）因为， 所以，这是平行
3、四边形的面积因此(4)设点到平面的距离为，由立体几何使得三棱锥的体积所以习题4.2一、计算题与证明题1求经过点和且与坐标平面垂直的平面的方程解：与平面垂直的平面平行于轴，方程为 (1)把点和点代入上式得 (2) (3) 由（2），（3）得, 代入（1）得 消去得所求的平面方程为2求到两平面和距离相等的点的轨迹方程解；设动点为，由点到平面的距离公式得 所以3已知原点到平面的距离为120, 且在三个坐标轴上的截距之比为, 求 的方程 解：设截距的比例系数为，则该平面的截距式方程为 化成一般式为 又因点到平面的距离为120，则有求出 所以，所求平面方程为4若点在平面上的投影为, 求平面的方程 解：依
4、题意，设平面的法矢为 代入平面的点法式方程为 整理得所求平面方程为5已知两平面与平面相互垂直，求的值 解：两平面的法矢分别为，由，得 求出6已知四点, , , , 求三棱锥中 面上的高解：已知四点,则 由为邻边构成的平行六面体的体积为 由立体几何可知，三棱锥的体积为 设到平面的高为则有 所以 又 所以， 因此，7已知点在轴上且到平面的距离为7, 求点的坐标 解：在轴上，故设的坐标为，由点到平面的距离公式，得 所以则那么点的坐标为8已知点在轴上且到点与到平面的距离相等, 求点的坐标。 解：在轴上，故设的坐标为，由两点的距离公式和点到平面的距离公式得 化简得 因为 方程无实数根，所以要满足题设条件
5、的点不存在。习题4.3一计算题与证明题1求经过点且与直线和都平行的平面的方程解：两已知直线的方向矢分别为，平面与直线平行，则平面的法矢与直线垂直由，有 （1）由，有 （2）联立（1），（2）求得,只有又因为平面经过点，代入平面一般方程得所以故所求平面方程，即，也就是平面。2求通过点P(1，0，-2)，而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线相交的直线的方程解：设所求直线的方向矢为，直线与平面平行，则，有 （1）直线与直线相交，即共面则有所以 （2）由（1），（2）得，即取，得求作的直线方程为3求通过点)与直线的平面的方程解：设通过点的平面方程为即 (1)又直线在平面上，则直线的方向矢与平面法
6、矢垂直所以 (2)直线上的点也在该平面上，则 （3）由（1），（2），（3）得知，将作为未知数，有非零解的充要条件为即，这就是求作的平面方程。4求点到直线的距离解：点在直线上，直线的方向矢 ,则与的夹角为所以因此点到直线的距离为5取何值时直线与轴相交?解：直线与轴相交，则有交点坐标为，由直线方程得，求得6平面上的直线通过直线：与此平面的交点且与 垂直, 求的方程解：依题意，与的交点在平面上，设通过交点的平面方程为即 （1）已知直线的一组方向数为所以 由直线与平面垂直得所以得将，代入（1）得化简得故所求直线方程为7求过点且与两平面和平行直线方程解：与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行，则直线
7、的方向矢垂直于这两平面法矢 所确定的平面，即直线的方向矢为将已知点代入直线的标准方程得8一平面经过直线（即直线在平面上）：，且垂直于平面，求该平面的方程解：设求作的平面为 (1)直线在该平面上，则有点在平面上，且直线的方向矢与平面的法矢垂直所以 (2) (3)又平面与已知平面垂直，则它们的法矢垂直所以 (4)联立(2),(3),(4)得代入（1）式消去并化简得求作的平面方程为习题4.4一计算题与证明题1一动点到定点的距离是它到的距离的两倍, 求该动点的轨迹方程解：设动点的坐标为，依题意，得化简得2已知椭圆抛物面的顶点在原点，xOy面和xOz面是它的两个对称面，且过点(6，1，2)与, 求该椭圆
8、抛物面的方程解：顶点在原点，面和面是它的对称面的椭圆抛物线方程为代入已知点，得联立求出代入（1）式得化简得求作的椭圆抛面方程为3求顶点为，轴与平面x+y+z=0垂直，且经过点)的圆锥面的方程解：设轨迹上任一点的坐标为，依题意，该圆锥面的轴线与平面 垂直，则轴线的方向矢为，又点与点在锥面上过这两点的线的方向矢为，点与点的方向矢为，则有与的夹角和与的夹角相等，即化简得所求的圆锥面方程为 4已知平面过轴, 且与球面相交得到一个半径为2的圆, 求该平面的方程解：过轴的平面为 （1）球面方程化为表示球心坐标为到截面圆的圆心的距离为,如题三.4图所示由点到平面的距离公式为化简得解关于A的一元二次方程地求出
9、分别代入(1)式得消去得所求平面方程为或5求以, 直线为中心轴的圆柱面的方程 解:如习题三.5所示,圆柱面在平面上投影的圆心坐标为,半径为,所以求作的圆柱面方程为6求以, 经过点的圆柱面的方程 解:设以轴为母线的柱面方程为 (1) 因为点,在柱面上,则有 (2) (3) 则 (4)联立(2),(3),(4)求出,代入(1)式得所求的柱面方程为7根据的不同取值, 说明表示的各是什么图形解:方程 (1)时,(1)式不成立,不表示任何图形;时,(1)式变为,表示双叶双曲线;时,(1)式变为,表示单叶双曲线;时,(1)式变为,表示椭球面;时,(1)式变为,表示母线平行于轴的椭圆柱面;时,(1)式变为,
10、表示双曲柱面;时,(1)式变为,不表示任何图形;8已知椭球面经过椭圆与点, 试确定的值解:因为椭球面经过椭圆与点,则有所以代入(2)得即复习题四一、计算与证明题1已知, , , 并且 计算 解: , , , 且 则. 所以2设力作用在原点点, 求力对点的力矩的大小解:原点坐标,则，对的力矩为力矩的大小为3已知点, 求线段的中垂面的方程解：已知点, ，设的中垂面上任一点的坐标为，由两点间的距离公式得 化简得 4已知平面与三个坐标轴的交点分别为且的体积为80, 又在三个坐标轴上的截距之比为, 求的方程解：设在三个坐标轴上的截距之比为，则平面与三个坐标轴的交点为所以， 因此， 平面的方程为5已知两平
11、面与平面相互垂直, ,求的值 解：平面， 平面， 与垂直，则，所以 即 所以6取何值时直线与轴相交? 解：直线与轴相交，则交点坐标为，代入直线方程为 （1） （2） （1）+（2）得，而原点不在直线上，故，所以 7设圆柱面过直线, 以及轴, 求的方程 解：直线是平面与的平面的交线，在平面上，与轴的距离为6且平行与轴 直线，过点，方向矢为也平行于轴，所以该圆柱面的母线平行于轴，且准线在平面内，点均在该准线上，所以准线的圆心坐标为，半径为 故圆柱面的方程为 8已知球面面的方程为, 求的与轴垂直相交的直径所在直线的方程 解：求面的方程为 化为 所以球心坐标为 所求直径与轴垂直，则垂足坐标为，则该直径所在直线的方向矢为，把点与代入直线的准线方程得所求直线方程为
