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1、2023学年高二年级第二学期浙南名校联盟期中联考数学试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级姓名考场号座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法解集合A，结合交集的概念与运算即可求解.【详解】，所以.故选：D2. 已知复数则（ ）A. B. C. 5D. 【答案】B
2、【解析】【分析】根据复数模长的计算公式，直接求解即可.【详解】由题可得：.故选：B.3. “”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解.【详解】若，则，所以方程表示双曲线；若方程表示双曲线，则，解得或，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A4. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据数量积的运算律及向量夹角的运算公式求解.【详解】解：因为，所以，设与的夹角为，所以，所以
3、.故选：D5. 苍南168黄金海岸线由北向南像一条珍珠项链，串联了一个个金色沙滩岛礁怪石肥沃滩涂和一座座渔村古寨山海营地，被赞为中国东海岸“一号公路”.现有小王和小李准备从烟堆岗，炎亭沙滩，棕榈湾，滨海小镇4个网红景点中随机选择一个游玩，设事件为“小李和小王选择不同的景点”，事件为“小李和小王至少一人选择炎亭沙滩景点”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出事件发生的概率和事件A和事件B共同发生的概率，利用条件概率公式即可求出.【详解】由题可知，小王和小李从4个著名旅游景点中随机选择一个游玩，共有种，其中事件的情况有种，事件A和事件B共同发生的情况有种，所以，所以.故
4、选：C.6. 已知正项等差数列的前项和为，则的最大值为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，求得，再结合基本不等式即可求得结果.【详解】由，可得；又，又，故，当且仅当时取得等号；即的最大值为.故选：B.7. 已知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设切线为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，由得，进而，根据直线与圆的位置关系与点到直线的距离公式可得，则，即可求解.【详解】如图，设切线方程为，消去，得，则，又，所以，代入，得，则，整理得.又圆心到直线的距离等于半径，半
5、径，则，解得，代入，整理得，所以，由，解得.故选：C8. 已知函数在区间上恰有三个零点，且，则的取值可能为（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式可得，结合选项，确定的取值范围，根据正弦函数的性质验证函数是否有3个零点且满足即可.【详解】.A：当时，由，得，函数有3个零点；，所以，不符合题意，故A错误；B：当时，由，得，函数有3个零点；，所以，符合题意，故B正确；C：当时，由，得，函数不止有3个零点，不符合题意，故C错误；D：当时，由，得，函数不止有3个零点，不符合题意，故D错误；故选：B【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质的综合问题，确定的取值范围
6、是解决本题的关键.二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知随机变量的分布列如下，则正确的是（ ）12A. B. C. 若，则D. 【答案】ABD【解析】【分析】利用分布列的性质求得的关系，再根据随机变量的概率公式与期望、方差公式即可得解.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C错误；对于D，则的分布列如下：14所以，则.故选：ABD.10. 如图，正方体的棱长为是线段上的两个动点，且，是的中点，则下列结论中正确的是（ ）A. 三棱锥的体积
7、为定值B. 平面C. 在线段上存在一点，使得平面D. 平面截正方体的外接球的截面面积为【答案】AC【解析】【分析】利用等体积法转化判断A；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明判断BC；利用向量求出球心到平面的距离求出截面圆面积判断D.【详解】对于A，三棱锥的体积，点到直线距离为，而，则面积为定值，又点到平面的距离为2，因此三棱锥的体积为定值，A正确；在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则，令，得，对于B，与向量不共线，则与平面不垂直，B错误；对于C，令，而，则，要平面，必有，因此，解得，即为的中点，此时平面，则平面，C正确；对于D，正方体的
8、外接球球心是线段的中点，点到平面的距离，而球半径，平面截球所得截面圆半径，所以该截面圆面积为，D错误.故选：AC11. 已知函数（是自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）A. 若，则不存在实数使得成立B. 若，则不存在实数使得成立C. 若的值域是，则D. 当时，若存在实数，使得成立，则【答案】BCD【解析】【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：分类讨论，求方程的根，即可得结果；对于C：分和两种情况，结合分段函数值域分析求解；对于D：先证由是单调递增函数，若存在使得，则，结合题意分析求解.【详解】对于选项A：例如，则，即存在实数使得成立，故A错误；对于选项B：若，对于关于x方程，当时，则，
9、可得，整理得，则，可知方程无解；当时，则，可得，整理得，不成立，可知方程无解；当时，则，可得，整理得，则，可知方程无解；综上所述：关于x方程无解，即不存在实数使得成立，故B正确；对于选项C：若，当时，；当时，；此时的值域为，不为，不合题意；若，当时，；当时，；若的值域为，则，解得；综上所述：的取值范围为，故C正确；对于选项D：当时，易得在上单调递增，所以单调递增，下面证明：是单调递增函数，若存在使得，则，记，则，即和都在图像上假设，因为是单调递增函数，则，即，所以矛盾；假设，因为是单调递增函数，所以，即，所以矛盾；故，即，因此由题意若存在实数使得成立，则存在实数使得成立，又因为即存在实数使得成
10、立而在上递增，所以得，故，故D正确；故选：BCD.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接求零点：令，则方程解的个数即为零点的个数（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点非选择题部分三填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12. 二项式展开式中所有项的系数之和为_.【答案】【解析】【分析】令，可得所
11、有项的系数之和，运算求解即可.【详解】令，可得所有项的系数之和为.故答案为：.13. 2024年2月1日至4日花样滑冰四大洲锦标赛在中国上海举行，甲乙丙丁戊5名志愿者承担语言服务医疗服务驾驶服务3个项目志愿服务，每名志愿者需承担1项工作，每项工作至少需要1名志愿者，甲不承担语言服务，则不同的安排方法有_种.（用数字作答）【答案】100【解析】【分析】根据甲不承担语言服务，分别从乙丙丁戊中选1人，2人或3人承担语言服务，再把剩下的人分为2组承担医疗服务驾驶服务求解.【详解】解：因为甲不承担语言服务，第一类是从乙丙丁戊中选1人承担语言服务，则有种，再把剩下的4人分为2组承担医疗服务驾驶服务，则有种
12、，共有种；第二类是从乙丙丁戊中选2人承担语言服务，则有种，再把剩下的3人分为2组承担医疗服务驾驶服务，则有种，共有种；第三类是从乙丙丁戊中选3人承担语言服务，则有种，再把剩下的2人分为2组承担医疗服务驾驶服务，则有种，共有种；综上不同的安排方法有种，故答案为：10014. 已知，对任意都有，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由已知条件得恒成立，构造函数，由单调性转化为恒成立，再次构造函数，由其单调性及最值转化为恒成立，从而得结果.【详解】因为，即，令，令，即，所以，令，即，所以，所以在上为减函数，在上为增函数，依题意有，又，所以在恒成立，令函数，令，即，所以，令，即，所以，所以在上
13、为减函数，在上为增函数，所以，故，故答案：.【点睛】关键点睛：本题关键是通过已知条件转化为恒成立，构造函数构造函数，利用导数求其单调性并由单调性转化为恒成立，再次构造函数，根据其单调性及最值可得结果.四解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15. 锐角中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）分别利用余弦定理或者正弦定理对原式进行边角互化，结合三角形面积公式，求得，即可求得；（2）利用正弦定理，将转化为关于的三角函数，结合的范围，求得该三角函数值域，即可求得结果.【小问1详解】方法一：因为
14、；又因为，所以，即；又因为为锐角三角形，所以.方法二：，所以，即，则，得；因为为锐角三角形，所以.【小问2详解】由正弦定理得：，因为为锐角三角形，所以：，即，所以，即.16. 已知（1）当时，求的单调区间；（2）若在上有零点，求实数的取值范围【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）求出，讨论导数的正负求单调区间即可；（2）分类讨论，当时，将问题转化为在上有解，利用导数得出的单调性及最值，即可求解【小问1详解】当时，由显然递增，令，得，所以当，在上单调递增，当，在上单调递减，故在上单调递增，在上单调递减【小问2详解】当时，在上有零点，不合题意；当时，在上有解在上有解，则，令，得，当时，当时，所以在上单调递增，函数值从0增大到；在上单调递减，函数值从减小到0；因为在上有解所以，解得，综上，17. 平行四边形中，点为
