第21讲一笔画问题

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1、小升初面试第二阶段数学课程-一笔画问题第一部分 思维提升（45分钟）所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点 一笔画问题： (1)能一笔画出的图形必须是连通的图形； (2)凡是只由偶点组成的连通图形一定可以一笔画出画时可以由任一偶点作为起点最后仍回到这点； (3)凡是只有两个

2、奇点的连通图形一定可以一笔画出画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画 多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点(n为自然数)，那么这个图一定可以用n笔画成。 例1、我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？ 分析：奇点：J D H F 偶点：A E B C G I 例2、判断下列图a、图b、图c能否一笔画 分析：图a能，因为有2个奇点，图b不能，因为图形不是连通的，图c能，因为图中全是

3、偶点 例3、下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？ 分析：图1能 因为图中奇点的个数只有两个，其余全是偶点，图2能 因为图中全是偶点，图3不能因为有4个奇点 例4、下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？ 分析：第1个能，2、3不能 例5、左下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图 分析：不能一笔画出，因为图中有E H G F四个奇点，连结EH就可以使图形一笔画出 例6、右上图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？ 分析：要想不重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该

4、从奇点出发才能一笔画出图形，所以甲蚂蚁能够 例7、左下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？ 分析：要想不重复，需要路线能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以入口和出口应该分别放在两个奇点出，即F和I点 例8、右上图中邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？分析：不走重复路，一笔能画出路线图，图中有2个奇点，应该从奇点处出发，下面有一种参考路线： 4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3 例9、判断下列图形能否一笔画若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形 分析：图(1)不能一笔画出，因为图

5、中有4个奇点，连结BD，或者去掉BF都可以使图形能一笔画出图(2)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉KL，或者BK都可以使图形能一笔画出图(3)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉AB可以使图形能一笔画出一个K(K1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画例10、右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，

6、问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？分析：将图形中的6个区域看成6个点，每个门看成连结他们的线段，显然6个点都是偶点，所以有人能一次不重复的走过所有的门 例11、18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？ 分析：欧拉解决这个问题的方法非常巧妙他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都

7、可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了而图B中有4个奇点显然不能一笔画出 巩固练习： 1、观察下面的图，看各至少用几笔画成？分析：图(1)有8个奇点，所以要4笔画出，图(2)有12个奇点，所以要一笔画出，图(3)能一笔画出 2、判断前两个图能否一笔画出；第三个图要求不穿越任何线地一笔画出。 3、能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？ 分析：可以 4、一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？ 分析：最

8、多34厘米 5、右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由如果能，应从哪开始走？分析：不能 6、如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？ 分析：能 7、如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门如果可以，请指明穿行路线， 如果不能，应关闭哪个门就可以办到？ 分析：可以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号这时，连通厅与厅之间的门就相当于各点之间的连线于是题目中餐厅的平面图就抽象成为一个连通

9、的图形，求穿形路线的问题就转化成一笔画的问题在抽象出的图形中，我们可以找到四个奇点，即、和厅外，所以图形不能一笔画出也就是说，从入口进入不可能一次不重复的穿过所有的门但根据一笔画问题的知识，只要关闭门，把、变为偶点，就可以办到，可行路线如下图：B 8、甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速度走遍所有的街道（阴影部分），甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果都选择最短的线路，谁先回到邮局？ ABC 第二部分 学科知识（15分钟）列方程解决实际问题 1、在一个除法算式里，被除数、除数、商与余数的和是127。已知商是3，余数是2，那么除数是多少？2、化肥厂三月份用水420吨，四月份用

10、水380吨，四月份比三月份节约水费60元，这两个月各付水费多少元？ 3、两块正方形的地，第一块地的边长比第二块地的边长的2倍多2米，而它们的周长相差56厘米，两块地边长是多少？ 4、一个两层的书架，上层放的书是下层的3倍，如果把上层的书放90本到下层，则两层的书相等，原来上下层各有书多少本？5、小明今年的年龄是他爸爸年龄的，4年后，小明的年龄是他爸爸的，小明的爸爸今年多少岁？6、 某车间有工人120人，下雪后，组织男工人数的与女工人数的去扫雪，已知扫雪共用了64人，这个车间的男、女工各有多少人？7、有两根同样长的蜡烛，粗的可燃3小时，细的可燃小时，停电时，同时点燃两根蜡烛，来电时同时吹灭，粗的剩下的长度是细的剩下的2倍，求停电的时间多长？8、日照村修防洪堤，第一周修了全部的35%，第二周修了3600米，这时两周修的总米数距全长的还有400米。这条防洪堤长多少米？9、 A、B两地相距490千米，一辆货车和一辆客车同时从两地出发，相向而行，货车的速度比客车的速度快25%，行驶2小时后，两车还相距130千米。货车每小时行驶多少千米？ 10、修一条公路，已修的和未修的比是1:3，再修300米后，乙修的和未修的长度比是1:2。这条公路长多少米？