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1、抽样定理的证明与实际应用假人 14年5月摘要：通过实验观测了抽样信号fs(t啲频谱，研究了频谱的特点。为了能够 从抽样信号fs(t)中无失真地重建原信号f(t)而不致于产生混叠现象，采用了提 高抽样频率的方法，使得滤波器的输出端只有所需要的信号频谱F(s),从而 进一步验证了著名的“抽样定理”。关键字：抽样定理 离散频谱 有源低通滤波器一、抽样的概念所谓抽样。就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T抽取一个瞬时 幅度值(样值)，抽样是由抽样门完成的。在一个频带限制在(0, fh) 内的时间连续信号f (t),如果以小于等于l/(2fh)的时间间隔对它进行抽 样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信
2、号。或者说，如果一个连续信 号f (t)的频谱中最高频率不超过fh，这种信号必定是个周期性的信号， 当抽样频率fs$2 fh时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而 不会有信息丢失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的 连续信号。根据这一特性，可以完成信号的模-数转换和数-模转换过程。二、验证方法本次设计应用MATLAB验证时域采样定理。了解MATLAB软件，学习应 用MATLAB软件的仿真技术。它主要侧重于某些理论知识的灵活运用，以 及一些关键命令的掌握，理解，分析等。初步掌握线性系统的设计方法， 培养独立工作能力。加深理解时域采样定理的概念，掌握利用MATLAB分 析系统
3、频率响应的方法和掌握利用MATLAB实现连续信号采样、频谱分析 和采样信号恢复的方法。计算在临界采样、过采样、欠采样三种不同条件 下恢复信号的误差，并由此总结采样频率对信号恢复产生误差的影响，从 而验证时域采样定理。MATLAB是一套功能十分强大的工程计算及数据分析 软件，广泛应用于各行各业。MATLAB是矩阵实验室之意。除具备卓越的数 值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模 仿真和实时控制等功能。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式 与数学，工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C语言 和FORTRAN等语言完全相同的事情简捷得多.在
4、新的版本中也加入了对C， C+，FORTRAN，JAVA的支持。可以直接调用，用户也可以将自己编写的实 用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用。三、验证实验的基本原理(1) 时域采样定理1、对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连 续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。2、设连续信号的的最高频率为maxF，如果采样频率max2FFs ，那 么采样信号可以唯一的恢复出原连续信号，否则max2FFs会造成采样信 号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。(2) 设计原理图抽样信号工g 连续信号較絆克冲信号垃)=丢(r)四、实验步骤1、画出连续时间信
5、号的时域波形及其幅频特性曲线，信号为 f(x)二 sin(2*pi*60*t)+cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*30*t)；2、对信号进彳丁米样,得到米样序列，画出米样频率分别为80Hz, 120 Hz，150 Hz时的采样序列波形；3、对不同采样频率下的采样序列进行频谱分析，绘制其幅频曲线，对 比各频率下采样序列和的幅频曲线有无差别。4、对信号进行谱分析，观察与3中结果有无差别。5、由采样序列恢复出连续时间信号，画出其时域波形，对比与原连续 时间信号的时域波形。五、MATLAB实现编程%实现采样频谱分析绘图函数function fz=caiyang(fy,fs)%第一个输入变
6、量是原信号函数，信号函数fy以字符串的格式输入%第二个输入变量是采样频率fs0=10000; tp=0.1;t=-tp:1/fs0:tp;k1=0:999; k2=-999:-1;m1=length(k1); m2=length(k2);f=fs0*k2/m2,fs0*k1/m1;%设置原信号的频率数组w=-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1;fx1=eval(fy);FX1=fx1*exp(-j*1:length(fx1)*w);%求原信号的离散时间傅里叶变换Figure%画原信号波形subplot(2,1,1),plot(t,fx1,l) title(原信号),xlabel(时间
7、t (s)axis(min(t),max(t),min(fx1),max(fx1)%画原信号幅度频谱subplot(2,1,2),plot(f,abs(FX1),r)title(原信号幅度频谱),xlabel(频率f (Hz)axis(-100,100,0,max(abs(FX1)+5)% 对信号进行采样 Ts=1/fs;%采样周期 t1=-tp:Ts:tp;%采样时间序列 f1=fs*k2/m2,fs*k1/m1;%设置采样信号的频率数组 t=t1;%变量替换 fz=eval(fy);%获取采样序列 FZ=fz*exp(-j*1:length(fz)*w);%采样信号的离散时间傅里叶变换fi
8、gure% 画采样序列波形subplot(2,1,1),stem(t,fz,.), title(取样信号),xlabel(时间t (s) line(min(t),max(t),0,0)% 画采样信号幅度频谱 subplot(2,1,2),plot(f1,abs(FZ),m)title(取样信号幅度频谱),xlabel(频率f (Hz)%信号的恢复及频谱函数 function fh=huifu(fz,fs)%第一个输入变量是采样序列%第二个输入变量是得到采样序列所用的采样频率T=1/fs; dt=T/10; tp=0.1;t=-tp:dt:tp; n=-tp/T:tp/T;TMN=ones(le
9、ngth(n),1)*t-n*T*ones(1,length(t);fh=fz*sinc(fs*TMN);% 由采样信号恢复原信号k1=0:999; k2=-999:-1;m1=length(k1); m2=length(k2);w=-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1;FH=fh*exp(-j*1:length(fh)*w);% 恢复后的信号的离散时间傅里叶变换figure% 画恢复后的信号的波形subplot(2,1,1),plot(t,fh,g), st1=sprintf(由取样频率 fs=%d,fs); st2=恢复后的 信号;st二st1,st2; title(st) , x
10、label(时间 t (s) axis(min(t),max(t),min(fh),max(fh) line(min(t),max(t),0,0)% 画重构信号的幅度频谱f=10*fs*k2/m2,10*fs*k1/m1;%设置频率数组subplot(2,1,2),plot(f,abs(FH),g) title(恢 恢复后信号的频谱),xlabel(频率f (Hz) axis(-100,100,0,max(abs(FH)+2);%主函数f1=sin(2*pi*60*t)+cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*30*t);%输入一个信号fs0=caiyang(f1,80); %频率 m
11、axs2ff,即欠采样 fr0=huifu(fs0,80);fs1二caiyang(f1,120);%频率 maxs2ff,临界采样 fr1=huifu(fs1,120);fs2二caiyang(f1,150);%频率 maxs2ff,即过采样 fr2=huifu(fs2,150);六、实验结果与分析1 、程序分析TMN=ones(length(n),1)*t-n*T*ones(1,length(t);fh=fz*sinc(fs*TMN);%由采样信号恢复原信号 plot(t,f)%绘制 fx 的波形 stem(t,f)%绘制一个二维杆图(画离散波形) subpolt(,) %在一个窗口画多个
12、波形图 f=10*fs*k2/m2,10*fs*k1/m1;%设置频率数组abs(x)%求复数x的模ones%产生矩阵元素全为1的矩阵2、原信号的波形及幅度频谱210-1原信号-0.1 -O.OS -0.06-0.04-0.0200.020.040.00.080.1时 IB t fS)原信号頂度顽谱)0jo0-100-80-60-40-202040 石 0 SO 100频率f(Hz)-2图1原信号波形及频谱3、结果分析(1) 频率sfmax2f时，为原信号的欠采样信号和恢复，采样频率不满足时域采样定理，那么频移后的各相临频谱会发生相互重叠，这样就无法将他们分开，因而也不能再恢复原信号。频谱重叠
13、的现象被称为混叠现象。欠采样信号的离散波形及频谱见下图2,恢复后信号见下图3。样佶号屯样恒号耆度频谱1510 -5 -0 r-80 -60-40-2002040顼率f (Hz)6080图2 X=80Hz时采样信号离散波形及频谱三秀样觌率fs=SO|t M .亏的信号2 -1丄-D -1 -2 -0.1-0.08-D.06-0.04-0.D200.020.D40.00.080.1时间t (s)恢复亏信号的频谱OOE11111-5D -0IIIFIIIII-100-80-60-40-20020406080100频率f (HQ图3X二80皿恢复后信号波形及频谱(2) 频率sf=max2f时，为原信号的临界采样信号和恢复，下图4为其采样 的离散波形和频谱，从下图5恢复后信号和原信号先对比可知，只恢复了 低频信号，高频信号未能恢复。取样信号-1-0.00-0.020D.D2D.D40.D60.08-0.1-D.0S-0.04对间t (S)频率f (Hz)图4 = 120Hz时采样信号离散波形及频谱_三耽样频率fs=120恢复，音的信号211IiIII0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1时间t（5）恢 max2f时，为原信号的过采样信号和恢复，由图6采样信号 离散波形和频谱，可以看出采样信号的频谱是原信号频谱进行周期延拓形 成的，从图7
