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1、全国第七届研究生数学建模竞赛题 目 特殊工件磨削加工的数学建模摘 要：本文首先分析磨床的工作原理，明确工作台由步进电机控制的传动方式，在此基础上，定义了磨削加工的误差度量方式：磨削面与工件母线差值绝对值的积分。对于问题一，我们从微观角度出发，在优先考虑精度的原则下，分析了每个离散状态中，上、中、下三个工作台的配合情况，给出了一套理论上实现最高精度的加工方案，通过计算给出理论上其最小误差为8.3726mm2，此方案加工时间为4229s。随后，我们考虑时间最短因素，对时间、误差进行了有效折衷，提出了一种更接近实际操作的方案，其误差为21.1704 mm2，用时3056s。对于问题二，我们采用同问题
2、一类似的分析方式，在结合轮式砂轮磨削特点的基础上，对误差计算做了相应改变，计算得误差下限9.4728 mm2，在这样的精度下需时4830s；相应快速算法误差为29.5446 mm2，耗时3551s。对于问题三，首先我们假定砂轮上某一部位在磨削过程中与工件接触次数越多，则认为该部位的磨损程度越严重。为使砂轮表面的磨损尽量均匀，我们采用了局部调整的思想，在问题一提出的方案基础上进行改进。我们提出时间单元的概念，在加工过程中每个时间单元内砂轮的使用情况进行统计。加工方案将根据前一个时间单元内砂轮磨损情况进行调整，接力递进，从而在全局上改善了砂轮磨损情况。此方案耗时3695s，误差为29.3901 m
3、m2。对于问题四，针对轮式砂轮的结构特点，我们给出了一种理论上充分保护砂轮的加工方案。通过适当延长加工时间使得砂轮的磨损尽量均匀，并给出了在时间上的损失。关键词：磨削 回旋体 母线 误差分析一、问题重述大型精密内外圆曲线磨床,用来加工具有硬度高、尺度大、加工精度高和母线为连续光滑曲线等特点的特殊工件。本题的研究内容是：运用数学建模的方法，根据旋转体工件的母线方程，给出一个合理的加工方案，在尽可能短的时间内完成磨削，并作加工误差分析。具体问题如下：问题1：加工外表面母线为的某旋转体工件，采用圆柱型砂轮加工，给出一个加工方案；对你的方案作误差分析。问题2：加工外表面母线为的某旋转体工件，采用轮式砂
4、轮加工，给出一个加工方案；对你的方案作误差分析；问题3：在整个加工过程中，若各个瞬时砂轮与加工工件的相切点是固定在底座和砂轮旋转轴的坐标系中同一个点（实际是点的一个邻域），随砂轮旋转形成一个圆周，那么砂轮在该圆周上的磨损会加大，从而影响加工质量。为此，希望在加工过程中使砂轮表面的磨损尽量均匀，请结合上述第1问题，提出一个修整策略，给出一个合理的加工方案，作相应的误差分析。问题4：请结合上述第2问题，提出一个修整策略，给出一个使轮式砂轮表面的磨损尽量均匀的合理加工方案，作相应的误差分析。二、基本假设1、本文假设砂轮与工件的接触面均是一个切点。2、在模型中忽略砂轮的磨损损失。3、假设步进电机一个激
5、励脉冲持续时间为1ms，即可将1s分等分成1000个时间段，在每个时间段（1ms）内，有激励脉冲为激励或不激励两种状态。4、假设步进电机一个脉冲带来的位移在瞬时完成。三、变量说明1、基本变量说明：第个状态下的砂轮中心坐标；: 砂轮倾斜角；：圆柱形砂轮半径；：圆柱形砂轮厚度；：步进电机最高工作频率；、：相邻两个时间段内的脉冲频率， 表示前一段，表示后一时段。（本文中约定一个时间段为1秒）；：轮式砂轮最大纵截面（垂直于砂轮转轴的最大截面）的直径：轮式砂轮厚度：轮式砂轮的圆弧横截面的张角（不大于180）：轮式砂轮的圆弧横截面的的半径：砂轮每分钟转动的角速度（假设定值）：工件每分钟转动的角转速（250
6、300转）：工件在垂直轴线的截面方向圆的半径：工件旋转100周，工件与砂轮的切点在工件工作箱的旋转轴方向上的移动量。2、坐标轴的建立注意：为方便分析，我们将工作台的移动等效为砂轮的运动，即：将中台和下台沿滑轨的移动等效为砂轮分别在直角坐标系中沿轴和轴方向上的移动；将上台的旋转等效为砂轮轴线与工作箱主轴之间的角度变化。以工件一的母线模型为例（工件二的母线也类似），分析问题的坐标轴如下图所示： 图1：工作箱主轴线；：中台沿下台上的滑轨的位移（因为是往复运动，所以有正有负）；：砂轮旋转的角度。四、磨削基本模型本题中砂轮磨削该工件的磨削方向为圆周方式,通过逐行加工来完成,以砂轮沿各切削行的运动,近似包
7、络出被加工曲面。磨削时采用顺磨的方式,加工过程为:先控制砂轮伸到工件x=0处的第一个截面Z1 处,通过控制工件绕Z轴转动和砂轮X 向微动,两轴联动来完成第一圈修磨;然后控制砂轮移动到第二个截面Z2 处,同样地由工件旋转和砂轮微动的两轴联动完成第二周的加工依次完成对整个内廓型的遍历修磨。在拟合加工曲线时，数控系统一般只能采用直线插补和圆弧插补两种方式。因此，用普通数控车床加工母线为非圆曲线的工件时较为困难，尤其对于一些母线较复杂而对形状精度要求较高的非圆曲线工件，其加工难度更大。为简化母线为非圆曲线工件的加工程序编制，提高对该类工件的加工准确性和适应性，本文提出一种针对母线为非圆曲线工件的准确加
8、工方法，并编制了相应的通用加工程序生成软件。对于非圆曲线轮廓，只能用直线或圆弧去逼近它。节点就是逼近线段和非圆曲线的交点，也是个逼近线段的起点和终点。一个已知曲线方程的节点数和逼近线段的形状（直线或圆弧）、曲线方程的特性以及允许的逼近误差有关。节点计算，就是利用这三者之间的数学关系，求解各个节点的坐标。逼近线段的近似区间愈大则节点数越少，相应程序段也越少，但逼近线段的误差不得大于允许误差。直线插补方式1) 等间距直线逼近的节点计算已知方程，如下图所示，根据给定的等间距求出，将代入，即可求得一系列。、即为每个线段的终极坐标，并以该坐标值对应砂轮与工件切点的坐标值。图22) 等步长直线逼近的节点计
9、算 使所有逼近线段的长度相等。如下图所示图3步骤：确定允许的步长L求以曲线起点a为圆心，作半径为L的圆方程，交曲线于b点，即可得到、以点b、c等为圆心，重复步骤即得其余节点坐标值。3) 等误差直线逼近的节点计算使所有逼近线段的误差相等图4步骤：确定允许误差的圆方程求圆与曲线公切PT得斜率K求弦长ab的方程联立曲线方程和弦的方程求得b点坐标顺次求得才c、d、e等各节点的坐标五、问题分析及模型建立工件的母线方程为一条连续的光滑曲线。加工过程中，下台、中台的移动以及上台的旋转由三台步进电机控制。步进电机相互配合，使得工件与砂轮以合理的方式接触，进行磨削，工件本身绕工作箱的旋转主轴进行转动，从而实现加
10、工。为使磨削结果尽可能接近理论值，即加工误差最小，我们需要给出尽可能合理的加工方案。理论上，倘若忽略步进电机的传动方式，认为三个工作台可以实现连续运动，那么最佳的磨削方案应该使得打磨点的轨迹与工件母线完全吻合。也就是说，在整个加工过程中，砂轮与工件的接触方式均为相切。这种情况下误差为零，即达到理论上的最小值。仍以工件一的母线模型为例（工件二的母线也类似），理想的磨削过程如下图所示：然而事实上，伴随着每一个控制脉冲的发出，工作台将产生的位移。由此看来，工作台实际的移动方式是离散的，即每次在或轴方向上移动的最小距离为。同理，上台转过的角度也是一个离散的值。误差定义： （式1）其中表示工件母线方程，
11、表示磨削后工件表面形成的折线。目标函数从总体上衡量了磨削结果与理想值的差异。1、问题1模型建立与分析数学模型的建立工件1的母线方程为： （式2）当第个状态时，圆柱体式砂轮磨削面所在的直线方程： （式3）工件母线在处的切线斜率： （式4）砂轮规格（厚度x直径）：30x60 mm工件转速：300圈/min约束条件： （式5）目标函数： （式6）模型解释与分析图6为说明问题，我们将场景进行放大。如上图中所示：曲线m表示工件母线的一部分；线段n表示当前砂轮磨削面的位置，m与n相切于点A；d表示步进电机单个控制脉冲可带来的工作台位移量。为方便分析，我们首先考虑中台与下台的位移情况，然后再加入上台的旋转角
12、度这一参量。为使加工顺利进行，当前状态下磨削面n可能沿着向量、进行为移，并伴随有一定的角度偏移。显而易见，不论按照哪个向量移动、不论上台转动角度如何，砂轮底面都无法与工件母线上的每一个点相切。造成这种误差的，正是这三个参数离散变化的特点。为实现误差最小，我们应让切点的个数尽量多，以逼近理想值，这也是我们提出本方案的根本思想来源。根据上述分析，我们针对不同因素的重要程度，提出了两种加工方案。方案一：最小误差方案如果我们期望工件的加工结果最接近理想，而不计花费的时间代价，我们提出的方案是：1、 设当前状态砂轮磨削面与母线相切与点。在下一步移动前，分别计算沿向量、移动后砂轮磨削面位置；2、 针对以上
13、每种情况，旋转调整上台角度，判断砂轮能否与工件相切，若能，则将该情况记为砂轮移动的候选方式之一，并记录下切点横坐标。3、 在上述所有候选方式中，选择切点距离当前切点最近的方案，作为最终砂轮移动的方案。说明：由于上台的旋转方式是离散的，所以步骤2中很可能出现上台并不能旋转到恰好与工件相切的角度，在这种情况下，我们只能选取最接近的值。图71. 假定角可连续取值如上图所示，在当前状态下，我们的方案是首先砂轮沿向量移动，再旋转角，使得移动后的磨削面与工件母线近似于点。这时是距离点最近的下一个切点。直线、与抛物线围成的封闭区域，即加工误差。2. 考虑角的离散变化特性：如下图所示，在角不能连续变化的条件下
14、，磨削面可能与工件母线的位置关系可能是相切、相离或相割。显然，下图情况中加工误差为折线与曲线所围成的阴影部分。图8方案二、实际方案上述方案中给出了理论上误差最小值，以及达到这种水平的实施方案。但这种方案将消耗巨大的时间代价。实际应用中，时间因素也往往具有相当的重要性。因此，我们权衡加工精度与时间这一对矛盾量，给出一种误差相对较小的快速加工方案。借助方案一的思想，如下图所示，当切点位于处。我们考虑工件母线的特点：母线方程： （式7） 对求一阶导数： （式8）在区间内，取值范围为： （式9）即有关系式： （式10）这一结果说明，在的范围内，工件母线斜率在-1至1之间。某一时刻状态如下图所示，由于砂轮在方向上位移的最小量相等，这就意味着倘若砂轮发生这两个方向上的位移，那么砂轮的移动方向沿或方向。由（*）式可知，在实际加工过程中，为使加工时间尽量短，可在满足约束条件的前提下，使得砂轮沿方向尽力移动。图9我们给出的实际加工方案如下:(1) 分别假设砂轮磨削面沿向量、移动，而后调整角，使得磨削面尽量与工件母线相切；(2) 计算上述三种情况下的误差情况；(3) 选择误差最小的一种作为移动方式。结果及分析：加工时间求取：在方案一、二中，我们求取了各个步进电机的脉冲序列。在求取加工
