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1、二圆的切线的性质及判定定理对应学生用书P251. 切线的性质(1) 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.如图，已知AB切0O于A点，则OA丄AB.(2) 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.(3) 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.2. 圆的切线的判定方法(1) 定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.(2) 数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线.(3) 定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线.其中和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的.说明在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和
2、“垂直于这条半径”这两个条 件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线.对应学生用书P25圆的切线的性质例1如图，已知ZC=90，点O在AC 上, CD为0O的直于E,若BC=5, AC=12.求0O的半径.思路点拨0O切AB于点E,由圆的切线的性质，易联想到 OAE,再利用相似三角形的性质，求出0O的半径.径，00切AB连接OE构造Rt解连接OE,VAB与0O切于点E,.OE丄AB,即 ZOEA=90.VZC=90,ZA=ZA, RtAACBsRtAAEO,.OE=AO *BC=AB.VBC=5, AC=12,AB=13,.OE 12-OE T=13,OE=-.即oo的半径为申.方法*规律呻结利用
3、圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解1. 如图，AB切0O于点B,延长AO交0O于点C,连接BC.若ZA=40，则ZC=()A. 20B. 25。C. 40D. 50解析：连接OB,因为AB切OO于点B,所以OB丄AB,即ZABO= ”90,所以ZAOB= 50.；又因为点C在AO的延长线上，且在0O上，所以 ZC=1ZAOB=25.答案：B2. 如图，已知PAB是0O的割线,AB为0O的直径. 点，BD丄PC 于点 D,交0O 于点 E，P4=A
4、O = OB=1.(1) 求ZP的度数；(2) 求DE的长.解：连接OC.VC为切点，.OC丄PC,ZOC为直角三角形.V OC=OA = 1, PO=P4+AO = 2,OC 1.sin ZP=po=2.ZP=30.(2) V BD 丄 PD ,在 RtAPBD 中，由 ZP=30, PB=P4+AO+OB = 3,得bd=2连接 AE.则 ZAEB=90,AEPD.ZEAB=ZP=30,.BE=ABsin 30= 1,BCD的外接圆的切线.cm圆的切线的判定例 2 已知 D 是ABC 的边 AC 上的一点，AD ： DC=2 ： 1,ZC=45,ZADB=60,求证：AB 是厶思路点拨连接
5、OB, OC, OD ZBOD=90 ZOBC=ZOCB=30 ZABO=90 结论. 证明如图，连接OB, OC, OD, OD交BC于E. VZDCB是BD所对的圆周角，ZBOD是BD所对的圆心角，ZBCD=45,ZBOD=90.TZADB是ABCD的一个外角，:.ZDBC=ZADBZACB=6045 = 15，：.ZDOC=2ZDBC=3O,从而 ZBOC=120, ：OB=OC,：ZOBC=ZOCB=30. 在 AOEC 中，因为 ZEOC=ZECO = 30, ：OE=EC,在 ASOE 中，因为 ZBOE=90,ZEBO = 30. ：.BE=2OE=2EC,.CE=CD=1：BE
6、=DA = 2，：ABOD,：ZABO=90,故AB是ABCD的外接圆的切线.要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线3本例中，若将已知改为“ZABD=ZC”，怎样证明：AB是ABCD的外接圆的切线.E的延长线于E, O证明：作直径BE,连接DE,:BE是0O的直径,:.ZBDE=90,ZE+ZDBE=90.ZC=ZE,ZABD=ZC,AZABD+ZDBE=90.即 ZABE=90.:.AB是ABCD的外接圆的切线.4. 如图，ABC内接于0O,点D在0C的延长线上，s
7、in B = 2，ZD =(1)求证：AD是0O的切线.(2)若AC=6，求AD的长.解：(1)证明：如图，连接OA,*.* sin B=2，.ZB=3O,VZAOC=2ZB,AZAOC=60,VZD = 30,.ZOAD= 180ZDZAOC=90,.AD是0O的切线.(2)TOA = OC,ZAOC=60,:.AOC是等边三角形，：OA=AC=6,.ZOAD=90,ZD = 30,.*.AD= 3AO = 6 3.圆的切线的性质和判定的综合考查例3如图，AB为0O的直径，D是BC的中点，DEAC交ACO的切线BF交AD的延长线于点F.(1)求证：DE是0O的切线;(2)若DE=3，OO的半
8、径为5,求BF的长.fi思路点拨连接OD,证明0D丄DE；(2)作 DG丄AB.证明连接OD,:D是BC中点,:AZ1=Z2.VOA = OD,Z2=Z3.Z1=Z3.:、ODH AE.:DE丄AE,：DE丄OD,即DE是0O的切线.(2)过D作DG丄AB,.Z1=Z2,：DG=DE=3.在 RtAODG 中，OG= 5232=4,：AG=4+5 = 9.:DG丄AB, FB丄AB,：DGFB.:.ADGAFB.DG=AG：BF = AB.39.10：BF 10.：BF 3 .方对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果.
9、弦EF切小圆于5. 如图，已知两个同心圆O,大圆的直径AB交小圆于C、D，大圆的C, ED交小圆于G,若小圆的半径为2, EF=4 3,试求EG的长.解:连接GC,贝q GC丄ED.:EF和小圆切于C,:.EF丄CD, EC=；EF=2 3.又 CD=4,：在 RtECD 中,有 ED = EC2+CD2=I. (2 3)2+42 = 2 7.由射影定理可知EC2=EGED,eg=ED2=(爲)2=6776. 如图，以RtABC直角边AC上一点O为圆心，OC为半径的OO与AC的另A个交点为E, D为斜边AB上一点且在0O 上, AD2=AEAC.（1）证明：AB是0O的切线;若DE-OB=8,
10、求0O的半径.解：（1）证明：连接OD, CD,.AD2=AE AC,AD=AD .又：zdae=zdac, AE AD/.DAEsCAD,AZADE=ZACD.：OD=OC,：ZACD=ZODC,又TCE是0O的直径,.ZODE+ZCDO=90,Z ODA = 90。,:,AB是0O的切线.(2)VAB, BC是0O的切线,.OB 丄 DC,：.DE/OB,：.ZCED=ZCOB,:zedc=zocb,:.Hcdesbco,cO=CO, DE OB=2R2=8,AOO的半径为2.对应学生用书P27一、选择题1.下列说法：与圆有公共点的直线是圆的切线；垂直于圆的半径的直线是圆的切线；与圆心的距
11、离等于半径的直线是圆的切线；过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线其中正确的有（）B.A.C.D.答案：C2.如图，AB是0O的直径，BC是0O的切线，AC交0O于DABBD等于（）A. 4B. 4.8=6, BC=8,则D. 6C. 5.2解析：TAB是0O的直径，.BD丄AC.TBC是0O的切线，AB丄BC.TAB=6, BC=8,AC=10.BD=A:=4.8.答案： B3. 如图，CD切0O于B, CO的延长线交0O于A,若ZC=36,则Z()A72B63D36CD为0O的切线ZOBC=90。ZC=36ZBOC=54ZA = 27ZA+ZC=27 + 36 = 63ZABDAD为弦
12、过B点的切线与AD的延长线交于)fiADZBCA=45切点为BBC是0O的切线ifZOBC=90555OB5 OB二、填空题解析：连接BD,则BD丄AC.时，0M与OA相切sin ZACO又*：ZBOC=2ZA4.如图，在0O中，AB为直径答案：B答案：Asin 45cos ZBCOcos 45sin ZBCOsin(45ZBCO)5.如图，已知ZAOB=30, M为OB边上一点，以M为圆心、2为半径作0胚若点M在OB边上运动2B0C,若 AD=DC，贝9 sin ZACO 等于(2D.4DC,：BA=BCA.%022 J= l0OBC 2OB 2cos ZBCO= c= -= cOC 5OB
13、 5寻5sin ZBCO=OC则当OM=C54 解析：连接 OB.径2.解析：若0M与OA相切，则圆心M到直线OA的距离等于圆的半过M作MN丄OA于点N,则 MN=2.在 RtAMON 中，TZMON= 30,.OM=2MN=2X2=4.答案：46.已知PA是圆O的切线，切点为A, PA=2, AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB=1.则圆O的半径R=解析：AB= AP2-PB2= 3.由 AB2=PBBC,:.BC=3, RtABC 中,AC= AB2+BC2=2 3.R= 3.答案：37. 圆O的直径AB=6, C为圆周上一点，BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD, AD分别与直线1、圆交于点D、E,贝yZDAC=,DC=切线，P是切点,求证：P4=PD.解析：连接OC,：OC=OB,： ZOCB=ZOBC.又 ZDCA+ZACO=90,ZACO+ZOCB=90,.ZDCA=ZOCB,: OC=3, BC=3,:.OCB是正三角形.:.ZOBC=60,即ZDCA = 60.ZDAC=30.在 RtACB 中，AC= AB2-BC2 = 3 3,DC=ACsin 30。=； 3.3 3答案：302三、解答题8. 如图
