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1、函数专题之值域与最值问题一观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+(23x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出(23x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知(23x)0， 故3+(23x)3。 函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=x(0x5)的值域。（答案：值域为：0，1，2，3，4，5） 二反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数
2、的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(12y)/（y1）,其定义域为y1的实数,故函数y的值域为yy1,yR。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x10-x)的值域。（答案：函数的值域为yy1） 三配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=(x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全
3、平方数，利用二次函数的最值求。 解：由x2+x+20,可知函数的定义域为x1，2。此时x2+x+2=（x1/2）29/40，9/4 0x2+x+23/2,函数的值域是0,3/2 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x5154x的值域.(答案:值域为yy3) 四判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x22x+3)/(x2x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将
4、上式化为（y2）x2(y2)x+(y-3)=0 （） 当y2时,由=(y2)24（y2）x+(y3)0，解得：2x10/3 当y=2时,方程()无解。函数的值域为2y10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x23x+1)的值域。（答案：值域为y8或y0）。 五最值法 对于闭区间a,b上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间a,b内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值
5、,可得到函数y的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：3x2+x+10，上述分式不等式与不等式2x2-x-30同解，解之得1x3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1x3/2), z=-(x-2)2+4且x-1,3/2,函数z在区间-1,3/2上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=5；当x=3/2时，z=15/4。 函数z的值域为z5z15/4。 点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最
6、值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。 练习：若x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ） A（，） B7， C0，） D5，） （答案：D）。 六图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例6求函数y=x+1+(x-2)2 的值域。 点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。 解：原函数化为 2x+1 (x1) y= 3 (-12) 它的图象如图所示。 显然函数值y3,所以，函数值域3，。 点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 求函数值域的方法较多，还适应
7、通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。 七单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例1求函数y=4x1-3x(x1/3)的值域。 点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= 1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。 解：设f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3。 点评：利用单调性求函数的值域，是在函数
8、给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数y=3+4-x 的值域。(答案：y|y3) 八换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例2求函数y=x-3+2x+1 的值域。 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。 解：设t=2x+1 （t0）,则 x=1/2(t2-1)。 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为y|y7/2。 点评：将无理函数或二次型的函数
9、转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数y=x-1 x的值域。（答案：y|y3/4 九构造法 根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。 例3求函数y=x2+4x+5+x2-4x+8 的值域。 点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。 解：原函数变形为f(x)=(x+2)2+1+(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=(2-x)2+22 ,KC=(x+2)2+1 。 由三角形三边关系知
10、，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。 原函数的知域为y|y5。 点评：对于形如函数y=x2+a (c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 练习：求函数y=x2+9 +(5-x)2+4的值域。（答案：y|y52） 十比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。 例4已知x,yR，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。 点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。 解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=
11、(y-1)/3=k(k为参数) x=3+4k,y=1+3k, z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 当k=3/5时，x=3/5,y=4/5时，zmin=1。 函数的值域为z|z1. 点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。 练习：已知x,yR，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：f(x,y)|f(x,y)1） 十一利用多项式的除法 例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一
12、个整式与一个分式之和。 解：y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1)。 1/(x+1)0，故y3。 函数y的值域为y3的一切实数。 点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x1)的值域。（答案：y2） 十二不等式法 例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。 解：易求得原函数的反函数为y=log3x/(1-x), 由对数函数的定义知 x/(1-x)0 1-x0 解得，0x1或y0） 训练例题例1求下列函数的值域（1）（2）（3）（4） 例2已知，求的
13、最值。例3求下列函数的值域（1）（2）（3）例4.如何求函数的最值？呢？例5求下列函数的值域（1）（2）（3）（4） 课后练习题一、 选择题题号12345678910111213答案1. 已知函数=，则（）的值是A.9 B. C. -9 D. -2. 若集合,，则等于A0 B CS DT3. 下列函数中值域是（0，+）的函数是A. B. C. D. 4. 定义在R上的函数的值域为，b,则的值域为A.,b B.+1,b+1 C.1,b1 D.无法确定5. 函数y =的定义域是(-，1)2,5，则其值域是 A.(-,0),2 B.(-,2) C.(-,)2,+ D.(0,+)6. 函数的值域为R，则实数k的取值范围是A
