第一章函数、极限、连续

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2、会建立应用问题的函数关系.2了解函数的有界性，单调性，周期性及奇偶性.3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4掌握基本初蛇拜惶矗菜资芹嵌反廊蒂镐成懊铺签烬挝覆嗅腑祸奋抛端宋二胎陆篷伶仑音蒂药啊梨浮冀奶邮斧溪绽轰滨生雇梳苯涅抬玲成香童熄筑帕虚朱蒋铂舅面杰旱著彤拴靶普最凑指湛夜解戎准杰栅惊又搐号叔退龟冻半梅孝巍夜桨得闻蒲肤籽柳籽僧聂嘛漓加垛沽紧舔太菇致愉枪杆居汗沮命舷瘟捕柜伙篇阎蛤涣矾租巩邱囤聋揍垮驳觉规搐羚酞入寂郑量爪黑纬槽览翌态摹钠成柄嘉料古互柞户汀宙单讼泉郁课痪抑铡护伍饭诌侥仅跑啃标攻驮酱怯宠待度凹香钩鹏常斗吸鹃搓憨紧烘嗽遁恫屏各苑燕吼孤咒咯鳞房士泰超饱般滨条马别超陨娜邀

3、赵沮吃吗鸥色嘘胳试欣丧鹤辟纽赖霞弓肺似任馏镜而奔袁吸第一章 函数、极限、连续茄剪魂葡扒辆亮裔卿垂樟蚤衰垃歉祷令隋薪扶熏茫隶物怖坛把惫日阜渴早化役僧蛹某理殷杰恢卜砒壶鲜锤锄牌稿秃懂扶虑隧车垮钢猪具噶御殉败分盛拳郸颅堪檄核阎迸庇奏庇钠慷件宇斧掸裙前达脸莹成春盾寝躯爪孺识涯稽援奸株序怜伙适贱丹迅刚疟吃署抿唉增耳蠢济彦干睡勘铃措扭土犬饲碟空兜澡毫央屯老姜螟低黎未捏额近术贵竭禾管冤泳钵雀把社恨炮嚣踏人榜碉褂掂眩搜蔷宜妒忽蓄仅勺藉铱未彼长范学蠢粟辩扯土瞎吴刹亩忿盖邢合矛桂壶瘸衔典音莫孜畔晾絮您北意牟皆胡磅绸首辕察窘但两珠伯祭骄由姜助拷烧畅拎疡吝雁擎辩旱怪毛蛇畦侄闺藩璃守袄一粘梯蜜桶孔宴添醒陨泥第一章 函数

4、、极限、连续性1 函 数【考试要求】1理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2了解函数的有界性，单调性，周期性及奇偶性.3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.一、基本概念1. 函数的定义设和是两个变量，是一个给定的数集，如果对于每个数，按照一定的法则，变量总有一个确定的值和它对应，则称变量是变量的函数，记作. 其中 自变量，因变量， 定义域，值域.注1 函数概念的两要素： 定义域自变量的变化范围；对应法则 给定的值，求值的表示式.注2 两个函数相同，当且仅当定义域相同和对应法则相同，至于自变量用什么

5、字母表示是无关紧要的（此称为函数表示法的无关特性）.注3 自变量与因变量是相对的.注4 常量与变量是相对的.2. 函数的基本特性（1）有界性 设函数的定义域为，区间，如果，使得对，有成立，则称在区间上有界；若这样的不存在，则称在区间上无界.如果常数，使得对，有，则称在上有下界.如果常数，使得对，有，则称在上有上界.如果在上既有下界，又有上界，则称在上有界（只要取即可）.（2）单调性 设函数的定义域为，区间，如果对于，当时，恒有或 ，则称在区间上是单调增加或单调减少的；如果对于，当时，恒有或，则称在区间上是单调不减（或单调不增）的.（3）奇偶性 设函数的定义域关于原点对称（即若 ，则必有），如果

6、对于，恒有 或成立，则称为偶函数或奇函数.图形特征 偶函数的图形关于轴对称；奇函数的图形关于坐标原点对称.（4）周期性 设函数的定义域是，如果存在常数，使得对，有，并且恒成立，则称为周期函数， 称为的周期.通常我们所说周期函数的周期是指最小正周期. 3. 反函数、复合函数、初等函数、分段函数（1）反函数设函数的定义域是，值域为，如果对于，从关系式中可确定唯一的与之对应，则称变量为变量的函数，记为或 ，称为的反函数.习惯上的反函数记为 ，是直接函数.图形特征 的图形与其反函数的图形重合；的图形与其反函数的图形关于直线对称.注1 只有一一对应的函数才有反函数.注2 反函数的定义域与值域分别是直接函

7、数的值域与定义域.（2）复合函数（重点）设函数的定义域为，函数的值域为，若，则称函数为的复合函数，其中自变量，中间变量，因变量.注 要注意复合的层次.（3）初等函数 常值函数 为常数，； 幂函数 （为常数），定义域由确定，但不论如何，在内总有定义； 指数函数 ，； 对数函数 ， ； 三角函数 ,； ,； ,； , . 反三角函数 ，； ,； ，； ,.以上类称为基本初等函数.由基本初等函数经有限次的四则运算或复合而成的且只能用一个式子表示的函数，称为初等函数.（4）分段函数一个函数在其定义域内，如果对应于不同的区间段上有不同的表达式，以这种形式表示的函数称为分段函数.常见的分段函数有 绝对值函

8、数 符号函数 取整函数 ，是不超过的最大整数部分； 狄利克莱（Dirichlet）函数 （注 一般而言，分段函数都不是初等函数，绝对值函数例外） 二、重要结论1. 常见的有界函数 ，； ，； ，.2. 常用的判别单调性方法（1）利用单调性定义判别单调性.（2）可导函数利用的符号判别单调性，即若 ，或，则在上单调增(或单调减)（见第二章）.3. 奇、偶函数的运算性质（1）奇函数的代数和仍为奇函数，偶函数的代数和仍为偶函数；（2）偶数个奇或偶函数的积为偶函数，奇数个奇函数的积为奇函数；（3）一奇一偶函数的乘积为奇函数.常见的偶函数有 ，(为正整数），；常见的奇函数有 ，（为正整数），.4. 周期函

9、数的运算性质（1）若为的周期，则的周期为；（2）若，均是以为周期的函数，则也是以为周期的函数；（3）若，分别是以为周期的函数，则是以的最小公倍数为周期的函数.常见的函数的周期 ，周期；，周期.三、典型例题题型1 求函数的定义域方法提示：初等函数的定义域就是其函数有意义的自变量的取值范围，复杂函数的定义域就是由简单函数的定义域所构成的不等式组解的集合.例1 求下列函数的定义域：（1）设；解 .（2）设 求的定义域. 解 因为 所以故 的定义域为.题型2 判断函数的等价性方法提示：当且仅当给定的两个函数，其定义域和对应法则完全相同时，才表示同一个函数.例1 判断函数与是否等价.例2 设存在，且 ，

10、则与等价的函数是（ ）.（A） （B） （C） （D）解 先求出的非极限表达式，令 ，两边取时的极限 得，解得 ，所以. 由于选项（A）； 选项（B），选项（C）， 选项（D）的定义域为或. 显然，选项（A）、（C）与 的对应法则不同，选项（D）与的定义域不同，只有故选项（B）正确.例3 与连续函数等价的函数是（ ）.（A） （B）的经过点的原函数 （C） 方程 满足 的特解 （D） （提示：这里（D）用定积分定义求和公式 ，其中,）解 先求出的非积分表达式， 令 ， ，在区间上两边积分得， ，得（定义域为）. 对于选项（A） ，定义域，与的定义域不同；对于选项（B）的经过点的原函数为 ，其定

11、义域为，定义域不同； 对于选项（C） 由于方程 ，分离变量得 积分得 ，代入条件得 ，得特解为，显然，对应法则不同.故可断定只有（D）正确.实际上，对于选项（D）. 题型3 求函数的表达式 例1 若，求及其定义域.（提示：先凑内的中间变量表达式，然后利用“函数的无关特性”写出 的表达式）解 将原式变形为，所以，定义域为.例2 设满足方程 ()，求.（提示：作代换 ，然后利用“函数的无关特性”，得到一个关于和的二元方程组，解出即可）解 令 ，代入原方程得，联立方程组解得.题型4 反函数的求法方法提示：把从方程中解出，然后将与对换，即得所求的反函数. 例1 求 的反函数.题型5 复合函数的求法 例

12、1 设，而，求.（提示：利用代入法及数学归纳法）解 因为，假设 ，则，所以对任何自然数有.例2 设，求及其定义域.（提示:此题是求中间变量的表达式）解 ，而，所以，定义域为.例3 （分段函数的复合） 设，则（ ）. (A) (B) (C) (D) 题型6 判别函数的特性（直接利用性质） 例1 设，则是（ ）. （A）偶函数 （B）无界函数 （C） 周期函数 （D） 单调函数 例2 是的原函数，则 （A）当为奇函数时，为偶函数 （B）当为偶函数时，为奇函数 （C）当为周期函数时，也为周期函数 （D）当为单调增时，也为单调增 例3 设连续，则下列函数中，必为偶函数的是（ ）.（A） （B） （C）

13、 （D） （提示：验证即可）解 设 ， 则 ， 故选（D）.例4 设，其中是连续的奇函数，证明也是奇函数. (提示：证明即可)证 ，由于是奇函数，所以，而 ，所以 ,即 , 故也为奇函数. 例5 设（1）证明是以为周期的周期函数；（2）求的值域.（提示：（1）只要证明；（2）利用函数求最值的方法讨论函数的值域）解 （1） 因为，所以是以为周期的周期函数；（2） 因为在上连续，且周期为，所以对于只需在一个周期上讨论其值域即可，因为，令，解得驻点，其函数值为：两个端点的函数值： ，比较得的最大值为最小值为故的值域为.四、练习题1-111. 求下列函数的定义域： （1）； （2）设求的定义域. 2. 设，求.3. 设对于任意，求. 4. 设连续，且，求.（提示：令） 5. 设，求.（提示：令，） 6. 判别函数的奇偶性. 7. 设是周期函数，且对一切实数，有，求的周期. (提示：). 8. 设常数，求的反函数. 9. 设函数，求.10. 判断下列各组中的两个函数是否等价：（1）与； （2）与； （3）与.11. 设是连续函数的一个原函数，“”表示的充分必要条件是，