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1、1.4.1正弦函数、余弦函数的图象保康一中 吕凤轩教学分析研究函数的性质常常以图象直观为基础，这点学生已经有些经验，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用.正弦函数、余弦函数的教学也是如此.先研究它们的图象，在此基础上再利用图象来研究它们的性质.显然，加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求.由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数，因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数的图象是一个自然的想法.当然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简
2、图.三维目标1.通过实验演示，让学生经历图象画法的过程及方法，通过对图象的感知，形成正弦曲线的初步认识，进而探索正弦曲线准确的作法，养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力.2.通过本节学习，理解正弦函数、余弦函数图象的画法，借助图象变换，了解函数之间的内在联系，通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象.3.通过本节的学习，让学生体会数学中的图形美，体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的
3、思想，加深数形结合思想的认识，理解动与静的辩证关系，树立科学的辩证唯物主义观.重难点重点：正弦函数、余弦函数的图象难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点；正弦函数与余弦函数图象间的关系.课时安排1课时教学过程导入新课通过向学生展示章头图表示的“简谐运动”实验，让学生对正弦函数、余弦函数的图象有一个直观的印象。遇到一个新的函数，非常自然地是画出它们的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等等.我们也很自然地想知道y=sinx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们的
4、图象的（列表描点法）？进而引导学生通过取值，画出当x0，2时，y=sinx的图象.新知探究提出问题问题1：作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，由于对一般角的三角函数值都是近似值，不易描出对应点的精确位置，我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长表示x角的三角函数值呢？怎样得到函数图象上的两个坐标的准确数据呢？简单地说，就是如何得到y=sinx，x0，2的精确图象呢？问题2：如何得到y=sinx，xR的图象？活动：教师先让学生阅读教材、思考讨论，对于学习较弱的学生，教师指导他们查阅课本上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象，怎样在x轴上标横坐标？为什么将
5、单位圆分成12份？学生思考仍不得要领时，教师可进行适时的点拨，只要解决了y=sinx，x0，2的图象，就很容易得到y=sinx，xR的图象了.对问题1，第一步，可以想象把单位圆剪开并12等分，再把x轴上从0到2这一段分成12等分.由于单位圆周长是2，这样就解决了横坐标的问题.过圆O1上各分点作x轴的垂线，就可以得到对应于，,，2的正弦线，这样就解决了纵坐标的问题了（相当于列表）.第二步，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，这就得到了函数对（x，,y）（相当于描点）.第三步，再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来，我们就得到了函数y=sinx在0，2上的图象了（相当于连线）.这
6、是本节的难点，教师要和学生共同讨论.对问题2，因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y=sinx在x2k，2+2k上的图象与y=sinx在x0，2的图象的形状完全一致，只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx在x0，2图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到y=sinx，xR的图象.讨论结果：1.利用正弦线，通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx在x0，2图象.2.左右平移，每次2个单位长度即可.提出问题如何画出余弦函数y=cosx，xR的图象？你能从正弦函数与余弦函数的关系出发，利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗？活动：如果再用余弦线作余弦函数的图像那就太
7、麻烦了，根据已学知识，教师引导学生观察诱导公式，思考探究两个函数之间的关系，通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象？让学生从函数解析式之间的关系思考，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做，体会正弦函数图象和余弦函数图象之间的异同，感知两个函数的整体形状，为下一步学习正弦函数、余弦函数性质打下基础.讨论结果：把正弦函数将y=sinx，xR的图象向左平移即得y=cosx，xR的图象.正弦函数y=sinx，xR和余弦函数y=cosx，xR的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线.提出问题问题1.以上方法作图，虽然精确但不太实用，自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图像的方法，你认为哪些点是
8、关键性的点？问题2.你能确定余弦函数图象的关键点，并作出它在0，2上的图象吗？活动：对问题1，教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象，发现在0，2上有五个点在起关键作用，只要描出这五个点后，函数y=sinx，x0，2的图象的形状就基本确定了，这五点如下：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)因此，在精确度要求不高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点作图法”是非常实用的，要求熟练掌握.对问题2，学生通过类比，很容易确定在0，2上起关键作用的五个点，并指导学生画出图象.讨论结果：1略2关键点也有五个，是
9、(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)应用示例例1 作下列函数的简图(1)y=sinx，x0，2， (2)y=cosx，x0，2， (3)y=1+sinx，x0，2， (4)y=-cosx，x0，2，解：(1)列表x0sinx010-10(2)列表x0cosx10-101(3)列表x0sinx010-10 1+sinx12101(4)列表x0cosx10-101 -cosx-1010-1知能训练课本本节练习课堂小结以提问的方式，先由学生反思学习内容并回答，教师再作补充完善1、 怎样利用“周而复始”的特点把区间0，2上的图象扩展到整个定义域上？2、 如何利用图像变换从正弦曲线得到余弦曲线？这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法外，余弦函数图象还可以由平移法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法，应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本科内容的重要思想方法.作业
