格点型面积例题精讲板块一 正方形格点问题在一张纸上， 先画出一些水平直线和一些竖直直线， 并使任意两条相邻的平行线的距离都相等 ( 通常规定是 1 个单位 ) ，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用 N 表示多边形内部格点， L 表示多边形周界上的格点， S 表示多边形面积， 请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律： S NL1 ．这个规律就是毕克定理．2毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，L1 ．则它的面积为 S N2page 1 of 9【例 1】 用 9 个钉子钉成相互间隔为 1 厘米的正方阵 ( 如右图 ) ．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形， 这样得到的三角形中， 面积等于 1 平方厘米的三角形的个数有多少？ 面积等于2 平方厘米的三角形有多少个？【解析】 面积等于 1 平方厘米的三角形有32 个． 面积等于2 平方厘米的三角形有8 个．( 1) 面积等于1 平方厘米的分类统计如下：①②③底为 2，高为 1 底为 2，高为 1 底为 1，高为 23× 2=6( 个 ) 3× 2=6( 个) 3× 2=6( 个)④ ⑤ ⑥底为 1，高为 2 底为 2，高为 1 底为 1，高为 23× 2=6( 个 ) 2× 2=4( 个) 2× 2=4( 个 )所以，面积等于 1 平方厘米的三角形的个数有： 6+6+6+6+4+4=32( 个) ．( 2) 面积等于 2 平方厘米的分类统计如下：3× 2=6( 个 )1× 2=2( 个 )所以，面积等于 2 平方厘米的三角形的个数有：6+2=8( 个 ) ．【例 2】 如图， 4 4 的方格纸上放了 16 枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个．【解析】 根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形 ( 如右图 ) ．1 1的正方形： 9 个； 2 2 的正方形： 4 个； 3 3 的正方形： 1 个；以 1 1正方形对角线为边长的正方形：4个；以 12 长方形对角线为边长的正方形：2 个．故可以组成 9 4 1 4 2 20 (个)正方形．【例 3】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴ ⑵ ⑶ ⑷【解析】 根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．page 2 of 9【例 4】 如图，计算各个格点多边形的面积．⑴⑵⑶⑷⑸⑹【解析】 本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图 ⑴是正方形，边长是4，所以面积是 4416(面积单位 )；图 ⑵是矩形，长是5，宽是 3，所以面积是5315(面积单位 )；图 ⑶是三角形，底是5，高是 4，所以面积是5 42 10 ( 面积单位 )；图 ⑷是平行四边形，底是5，高是 3，所以面积是 53 15( 面积单位 ) ；图 ⑸是直角梯形，上底是3，下底是 5，高是3，所以面积是 （3 5） 3212(面积单位 )；图 ⑹是梯形，上底是3，下底是 6，高是 4，所以面积是 （36）4 218( 面积单位 )．【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？( 教师总结：面积数值均扩大4倍． )方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．⑶ ⑷【例 5】 如图 ( a) ，计算这个格点多边形的面积．IIIIII(a)(b)(c)【解析】 方法一 ( 扩展法 ) ．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是 4 的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图 ( b) ，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是64 24；直角三角形Ⅰ的面积是：6 2 2 6 ；直角三角形Ⅱ的面积是：4 2 24；直角三角形Ⅲ面积是4 2 2 4；所求三角形的面积是24 （644） 10(面积单位 )．方法二 ( 割补法 ) ．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如( c) 图．因此三角形的面积是： 522 5 2 2 10(面积单位 )．【例 6】 ( “新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题) 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．DAF1cmCE B1cmABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的VAEF ；【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形另外三个分别是： V ABE 、 V FEC 、 V DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为1.5cm2 ， 2cm2 ， 1.5cm2 ．所以，图中阴影部分的面积为：3 3 （1.52 2） 4 ( cm2 ) ．page 3 of 9【例 7】 分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴ ⑵【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到⑴的面积均为 9 面积单位．⑵的面积均为 10 面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？” “格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是 8 个；第二个图形边界上的格点数是 10 个，包含在图形内的格点数也相等，都是 6 个．【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑴⑵⑶⑷【解析】 ⑴ ∵L12； N10，∴ SNL11012115( 面积单位 ) ；22⑵ ∵ L10； N16，∴ SNL11610120(面积单位 )；22⑶ ∵ L6 ； N12，∴ SNL1126 1 14(面积单位 )；22⑷ ∵ L10； N13，∴ SNL11310117(面积单位 )．22用 N 表示多边形内部格点， L 表示多边形周界上的格点， S 表示多边形面积， 请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律： S NL1 ．这个规律就是毕克定理．2毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，L1 ．则它的面积为 S N2【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【解析】 图形内部格点数N 9；图形边界上的格点数 L20 ；根据毕克定理，则 S NL1 18( 单位2面积 )．【例 9】 右图是一个 8 12面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．page 4 of 9HGFA ECBD【解析】 箭形 ABCDEFGH 的面积 （8 10 2 1） 4 8 （4 2 1） 2 12 32 2 46( 面积单位 ) ．【例 10】 右图中每个小正方形的面积都是 1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【解析】 图形内部格点数为 54，图形周界上格点数为 19．所以图形的面积为： 54 19 2 1 62.5( 面积单位 ) ．【巩固】如图，每一个小方格的面积都是 1 平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【解析】 方法一：正方形格点阵中多边形面积公式： ( N+ L - 1) ×单位正方形面积，其中 N 为图形内格点数，2L 为图形周界上格点数．7有 N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为： ( 4+2- 1) ×1=6． 5( 平方厘米 )方法。