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1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。习 题1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r = R(costi+ sin tj)其中 为常量求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：1） 由r = R(costi + sin tj) 知x = R cos t y = R sin t 消去 t 可得轨道方程 x 2 + y2 = R 22） v = ddtr = R sin ti+ Rcostjv = (R sin t)2 + (R cos t)2 12 = R1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r = 4t 2 i + (3 + 2t) j ，式中r 的单位为m ，t 的单
2、位为s .求：（1）质点的轨道；（2）从t = 0 到t =1秒的位移；（3） t = 0 和t =1秒两时刻的速度。解：1）由r = 4t 2 i + (3 + 2t) j 可知x = 4t 2 y = 3 + 2t 消去 t 得轨道方程为：x = (y 3)2 / 2）v = ddrt = 8ti + 2 jr = 01 vdt = 01 (8ti + 2 j)dt = 4i + 2 j3） v(0) = 2 jv(1) = 8i + 2 j1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r = t 2 i + 2tj ，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度
3、；（2）任一时刻的切向加速 度和法向加速度。解：1）v = ddrt = 2ti + 2 j a = ddvt = 2i2）v = (2t)2 + 4 12 = 2(t 2 +1) 12 a t=dv=2tdtt 2 +1a =a 2 a 2=2ntt2 +11-4. 一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升 降机的天花板与底板相距为d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为y= vt + 1 at 2（1）图 1-41021 gt 2y2= h + v0t （2）2y1= y2（3）解之t =2dg + a1-
4、5. 一质量为m 的小球在高度h 处以初速度v0 水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的 dr， dv ， dv .dtdtdt解：（1）x = v0 t式（1）y = h 1 gt 2式（2）21 gt 2 ) jr(t) = v0 t i + (h -2（2）联立式（1）、式（2）得y = h gx 22v02（3）dr= v0 i - gt j而 落地所用时间t =2hgdt所以dr= v0 i -2gh jdv= g jdtdtv =v 2x+ v2y = v02+ (gt)2dv=g 2 t=g2ghdt v 2+ ( gt) 2
5、1 2( v 2 +2gh) 12001-6. 路灯距地面的高度为h1 ，一身高为h2 的人在路灯下以匀速v1 沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2 .证明：设人从 O 点开始行走，t 时刻人影中足的坐标为 x1 ，人影中头的坐标为 x2 ，由几何关系可得图 1-6x2=h1而 x= vtx2 x1h210所以，人影中头的运动方程为x2=h1 x1=h1tv0h1 h2h1 h2人影中头的速度v2=dx2=h1v0dth1 h21-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为 x = 2 + 4t 2t 2 (m)，在 t 从 0 秒到3 秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？解：
6、v = dx= 4 4t 若v = 0 解的 t =1sdtx1 = x1 x0 = (2 + 4 2) 2 = 2mx3= x3 x = (2 + 4 3 2 32 ) (2 + 4 2) = 8m1x =x1+x2= 10m1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度h = 20cm ，斜面对水平的倾角 = 30o ，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远 (假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人 射角等于反射角)。 图 1-8解：小球落地时速度为v0 =2gh一建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图vx0= v0 cos 600x = v0 cos 600 t +1 g c
7、os 600 t 2（1）2v y 0= v0 sin 600y = v0 sin 600 t 1 g sin 600 t 2（2）2第二次落地时 y = 0t =2v0gx = v0 cos 600 t +1g cos 600 t2=2v2= 0.8m所以02g1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm / s2 ，设赤道上重力加速度为9.80m/s2 .解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足 g = R2现在赤道上物体 =3.4 102R=9.8=173.4 1021-10. 已知子弹的轨迹为抛物线
8、，初速为v0 ，并且v0 与水平面的夹角为 .试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解：在顶点处子弹的速度v = v0 cos ，顶点处切向加速度为 0。因此有： g =v2=(vcos)2 =v2cos2 00g在落地点速度为v0g cos =v2 =v200g cos1-11. 飞机以v0 =100m / s 的速度沿水平直线飞行，在离地面高h = 98m 时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视 线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解：设此时飞机距目标水平距离为 x 有： x = v0th =1gt 22x联立方程解得： x 447m
9、= arctan 77.50h1-12. 设将两物体 A 和 B 分别以初速v A 和vB 抛掷出去v A 与水平面的夹角为 ；vB 与水平面的夹角为 ，试证明在任何时刻物体 B 相对物体 A 的速度是常矢量。 解：两个物体在任意时刻的速度为v A = v0 cosi + (v0 sin gt) j vB = v0 cos i + (v0 sin - gt) jvBA = vB - v A = (v0 cos v0 cos)i + (v0 sin v0 sin) j与时间无关，故 B 相对物体 A 的速度是常矢量。1-13. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0 = 49.0m / s ，而气球以速度v =19.6m / s 匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各
