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1、第5讲双曲线04.限时规范训练阶梯训练能力提升A级 基础演练（时间：30分钟满分：55分）#、选择题（每小题5分，共20分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为点P位于该双曲线上，线段 PF的中点坐标为（0,2）,则双曲线的方程是)2= 1B.x2-4=1C.5一y3=1解析设双曲线的标准方程为a2b2=1(a0, b0),由 PFi 的中点为(0,2)知，PE，x轴,- 5 a2= 4a, a= 1, b=2,双曲线方程为答案2.（2012 湖南）已知双曲线 C：京一2= 1的焦距为10,点R2,1）在C的渐近线上，则C的方程为)A.* -20xB.5-20C.80 20D.=120 80解析
2、不妨设 a0, b0, c=a2+ b2.据题意，2c= 10, c=5.双曲线的渐近线方程为 y=bx,且P（2,1）在C的渐近线上，. 1 = 2b aa由解得b2=5, a2= 20,故正确选项为 A.答案 A3.已知双曲线。y3=1的左顶点为A，右焦点为F2, P为双曲线右支上一点，则PA - PF2 的最小值为)81C. 1D. 0解析 设点 Rx, y),其中 x1.依题意得 A(1,0) , FQ0),则有 y= x21, y2= 3(x2 31), PA PF2= ( -1-x, -y) - (2-x, y)=(x+ 1)( x-2) +y2=x2+3(x2-1) -x-22=
3、4x x5=4x 1） 81，其中x1.因此，当8 16x=1时，PA 是取得最小值2,选A.答案 A4.如图，中心均为原点 O的双曲线与椭圆有公共焦点，M, N是双曲线的两顶点.若 M Q N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A. 3B. 2C. 3D. 222解析设双曲线的方程为a2卷=1,椭圆的方程为22康+看=1,由于M O N将椭圆长轴四等分，所以a2=2a1，又e1 = J, e2=l所以/2.答案 B二、填空题（每小题5分，共10分） 22225 .已知双曲线 C： b2 = 1（a0, b0）与双曲线 G： 套=1有相同的渐近线，且 C的右 焦点为 F（-/5,
4、0）,则 a =, b =.22222解析 与双曲线（春一有共同渐近线的双曲线的方程可设为春=入（入0）,即六= 1.由题意知 c=/5，贝U 4入+16入=5?入=；贝22=1, b2=4.又 a0, b0,164故 a= 1, b= 2.答案 1 26 . （2012 江苏）在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线-2,m m+4=1的离心率为V5,则m的值为解析 由题意得 m0,a=ym, b=m+4.2，c=、m+ m4,由 e=-=/5,得 m+* =5 a -m解得m= 2.答案 2三、解答题(共25分)7 . (12分)中心在原点，焦点在 x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点Fi,
5、F2,且|FiF2| =2炉，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4,离心率之比为3 ： 7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos / FiPE的值.解(1)由已知：c=，13,设椭圆长、短半轴长分别为 a, b,双曲线半实、虚轴长分别 为 ni n,a-m 4,则 13I7 a =313 m解得 a=7, m= 3.，b=6, n= 2.椭圆方程为7+yT=1,双曲线方程为x7-yr=1.49 3694则 |PF| + |PF|=14, |PF|(2)不妨设F1, F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点,-1 PF2| = 6,所以 |PF|=10, |PE|=4
6、.又|F1F2|=2ji3,，cos/F1PF =| PF|2+| PB|2-| F1F2I2 2| PF| I PF102 4213 2 42X 10X45,8 .(13分)(2012 合肥联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F,F2在坐标轴上，离心率为42,且过点(4 ,诉).(1)求双曲线方程；(2)若点 M3, m)在双曲线上，求证：MF 碓=0;求 EMF的面积.(1)解.e=小，.设双曲线方程为 x2-y2= X . 又.双曲线过(4,一匹)点，入=1610 = 6, .双曲线方程为x2-y2 = 6.(2)证明法一由(1)知 a=b=J6, c=243, F1(-2/3, 0),
7、F2(2 3, 0), .kMF= -r, kMF= 3 + 2433-23 .kMF - kMIF=：-r=, 912 3又点（3, n）在双曲线上， m=3, .kMF - kMF=- 1, MFXMF, l/fc - MF= 0.法二.前=（324，-n）,靛=（2 ,一3, - n）, 前 ME= （3 + 2淄）（3 - 2淄）+m=-3+m.M在双曲线上，9- m= 6,rn= 3, 1- ivhr , ME= 0.解 .在FME中，| FE| =4斓，且 | m = 11 .SAFiME=- - I F1F2I - | rr| =-X43X3=6.B级 能力突破（时间：30分钟
8、满分：45分）、选择题（每小题5分，共10分）x2 y2221. （2013 巴南区模拟）过双曲线牙一b2=1（a0, b0）的左焦点F（ c, 0）（ c0）作圆x+y2=3的切线，切点为 E,延长FE交双曲线右支于点 P,若Or O三2Oe则双曲线的离心 4率为（）.A. 2B.fC.10D. 10 一.一一.一一一一一.1解析 设双曲线的右焦点为 A,则OF=OA故ORO4OP- O A=A2 2O E即OE= 2APa22所以 E是 PF的中点，所以 AP= 2OE= 2X2= a.所以 PF= 3a.在 RtAPF中，a + (3 a)=（2 c）2,即10a2=4c；所以e2= 2
9、,即离心率为 e=、居=2 选C.答案 C222. （2012 福建）已知双曲线4-b2= 1的右焦点与抛物线 y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）.A. 5B. 42C. 3D. 52x2 y2解析 易求得抛物线y2=12x的焦点为（3,0）,故双曲线-b2=1的右焦点为（3,0）,即c=3,故32=4 + b2,b2=5, 双曲线的渐近线方程为y=乎x, .双曲线的右焦点到其渐近线的距离为答案 A二、填空题（每小题5分，共3. （2013 临沂联考）已知点右顶点，过点 F且垂直于10分）22F是双曲线，含=1（a0, b0）的左焦点，点E是该双曲线的 x轴的直线
10、与双曲线交于 A B两点，若 AB蕾锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围为 解析 由题意知，ABb等腰三角形.若ABEM锐角三角形，则只需要/ AE明锐角.根据对称性，只要/小对即可.直线AB的方程为x=-c,代入双曲线方程得y2=取点 A一c, b b 则 I AF =a |EF =a+ c,只要 |AF|、一兀 r bI 2 *EF就能使/ AE%即+c,即 b a + ac,即 c ac 2a 0,即 e e 20,即一1e1,故 1e0)的两顶点为 A, A 虚轴两端点为 B, R,两焦点为Fi, F2.若以AA2为直径的圆内切于菱形F1BF2B,切点分别为 A, B, C, D
11、则双曲线的离心率e=（2）菱形F1BF2B2的面积Si与矩形 ABCD勺面积 SS1的比值F =S2yC解析 （1）4-3a2c2+c4=0, . e4-3e2+1=03+第2(2)设sinb0 = 2 22, cosb + cS二=._2 .&4a sin2bc2bcb2+ c20 cos 02 bc4ab2c222ae?12+ ,52(2)2 +加2三、解答题（共25分）5. （12分）已知双曲线2 x -2 a2yb2= 1（ a0, b0）的两个焦点分别为Fi, F2,点P在双曲线上，且PFXPR, | PF| =8,| PE| =6.（1）求双曲线的方程;（2）设过双曲线左焦点F1的
12、直线与双曲线的两渐近线交于A B两点，且F1A= 2F1B,求此直线方程.解（1）由题意知，在RtPFFz 中,(2)左焦点为Fi( 5,0),两渐近线方程为y=2 啊.由题意得过左焦点的该直线的斜率存在.5k卜+2心由 fA= 2F1B,得5L 2 L .J+52巡k厂1k+ 2乖 ，10 6kka者_5k_ k+265,设过左焦点的直线方程为y=k(x+5),则与两渐近线的交点为解得k= 土空.3故直线方程为y=x+5).6. (13 分)(2011 江西)Rx。，yo)( xw a)是双曲线 E:2xa22=1(a0, b0)上一点，M N b. ，八一、,1分别是双曲线 E的左，右顶点
13、，直线 PM PN的斜率之积为-.5(1)求双曲线的离心率;(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于 A, B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足解(1)由点RxoOc= xOAfOb求入的值.22y0)( X0W a)在双曲线，一b2= 1 上,22-Xoy。有4biyo1y0由题意有念a x+a5,可得 a2= 5b2, c2= a2+ b2= 6b2c 30e=a=丁x - 5y =5b , (2)联立ly=x-c,得 4x210cx+35b2=0.设 A(x1, v1，B(x2, v2，5cX1+X2=y,235bX1X2=.4X3= 入 Xl+X2,设OC (X3, y3), OG=入 ONOB 即十y3=入 yi+ y2.又C为双曲线上一点，即x25y3=5b2,有(入 Xi + X2)2 5(入 yi+y2)2=5b2.化简得入 2( X25y2)+( x2-5y2)+ 2 入(X1X2 5yy)= 5b2
