《【精选】高中数学北师大版选修12精品学案：第一章 统计案例 章末小结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【精选】高中数学北师大版选修12精品学案：第一章 统计案例 章末小结（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料数学精选教学资料精品资料第一章章末小结1.回归分析(1)回归分析步骤:回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.其步骤:收集数据作散点图求回归直线方程利用方程进行预测.(2)线性回归模型:y=bx+a,其中=xi,=yi,2.相关系数样本相关系数:对于变量y与x的一组观测值,把r=叫作变量y与x之间的样本相关系数,简称相关系数,用它来衡量两个变量之间的线性相关程度,|r|1.当r0时,表明两个变量正相关;当r0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.(2)条件概率相关性质0P(B|A)1.若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B);若P
2、(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A).(3)相互独立事件的定义设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫作相互独立事件.(4)相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都是相互独立的.(5)如果一系列的事件A1,A2,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An).4.2的计算公式及其特点(1)根据22列联表与构造的随机变量2=(其中n=a+b+c+d是样本容量)来计算2的值.(
3、2)当数据量较大时,统计学中已有明确的结论,随机事件2x0发生的概率如下:当22.706时,没有充分的证据判定变量A、B有关联,可以认为变量A、B是没有关联的;当22.706时,有90%的把握判定变量A、B有关联;当23.841时,有95%的把握判定变量A、B有关联;当26.635时,有99%的把握判定变量A、B有关联.由于抽样的随机性,由样本得到的推断有可能正确,也有可能错误.利用2进行独立性检验,可以对推断正确的概率做出估计,样本容量n越大,估计越准确.题型1:线性回归方程已知关于某设备的使用年数x和支出的维修费用y(万元),由资料统计得5组数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5),由
4、资料知y与x线性相关,并且由统计的五组数据得平均值分别为=4,=5.4,若用5组数据得到的线性回归方程y=bx+a去估计使用8年的维修费用比使用7年的维修费用多1.1万元.(1)求回归直线方程;(2)估计使用年数为10年时,维修费用约是多少.【方法指导】回归方程解方程组列方程组回归方程过点(,),【解析】(1)因为直线y=bx+a经过定点(,),又=4,=5.4,所以5.4=4b+a,又8b+a-(7b+a)=1.1,解得b=1.1,a=1,所以回归方程为y=1.1x+1.(2)将x=10代入线性回归方程得y=12
5、.所以,估计使用年数为10年时,维修费用约是12万元.【小结】回归方程一定过中心点(,).本题运用方程的思想,采用待定系数法求解.线性回归方程类似于一次函数的解析式,故有问题可类比一次函数,将问题转化为求函数值.题型2:线性回归模型问题一台机器使用时间较长,但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化,下表为抽样试验结果:转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985(1)求变量y与x的相关系数,并对其相关性做出判断;(2)如果y与x有线性相关关系,求回归直线方程;(3)若在实际生产中,允许每小时的产
6、品中有缺点的零件最多为10个,那么,机器的运转速度应控制在什么范围内?【方法指导】(1)结论|r|与0.75比较r的值,xiyi(2)y=bx+aa的值b的值(3)y10bx+a10x的取值范围【解析】(1)=12.5,=8.25,xiyi=438,4 =412.5,=660,=291,所以r=0.9954.所以y与x有很强的线性相关关系.(2)由(1)可求得b=0.7286,a=-0.8571,所以y=0.7286x-0.8571.(3)要使y10,得0.7286x-0.857110,所以x1
7、4.901.所以机器的转速应控制在14.901转/秒以下.【小结】若能从散点图直观地判断相关关系,就利用散点图进行判断;若散点图不明显时,我们就要根据相关系数r进行判断.在求回归直线方程时学会合理进行运算很关键,为准确运算,可先列表求出相关数据,然后求解.题型3:非线性相关问题某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关,经统计得到数据如下:x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15检测每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系.如有,求出y对x的回归方程.【方法指导】本题是非线性回归分析问题,
8、不妨设变量u=,题意要求对u与y作相关性检验,如果它们具有线性相关关系,就可以进一步求出y对u的回归直线方程,这时,再代回u=,就得到了y对x的回归曲线方程.【解析】首先作变量置换u=,题目所给数据变成如下表所示的10对数据:ui10.50.330.20.10.050.030.020.010.005yi10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15经计算得r=0.9998,从而认为u与y之间具有线性相关关系,由公式得a=1.125,b=8.973,所以y=1.125+8.973u.最后代入u=,可得y=1.125+.【小结】在某些情况下可以借助于线性回归模型
9、,研究呈现非线性相关关系的两个变量之间的关系,分析哪个模型拟合效果更好.题型4:相互独立事件的概率甲、乙两人都进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.8,两人之间相互没有影响.计算:(1)两人都击中目标的概率;(2)恰有一人击中目标的概率; (3)至少有一人击中目标的概率.【方法指导】(1)P(AB)P(A)P(B)P(A),P(B)(2)P(A+B)P(A)P()+P()P(B)(3)P=1-P()P()P()P()【解析】设“甲击中目标”记为事件A,“乙击中目标”记为事件B,A与B相互独
10、立.(1)两人各射击一次都击中目标即为事件AB,由事件A与B相互独立,得P(AB)=P(A)P(B)=0.80.8=0.64;(2)P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.80.2+0.20.8=0.32;(3)P()=P()P()=(1-P(A)(1-P(B)=(1-0.8)(1-0.8)=0.04,1-P()=1-0.04=0.96.【小结】把一个复杂的事件拆分成几个互斥或者相互独立的事件,是解决较为复杂概率问题的根本方法.题型5:独立性检验模型为了考察某种药物预防疾病的效果,任选105只动物做试验,其中55只服用此种药,50只未服用此种药,之后发现服药的55
11、只中有10只患病,未服药的50只动物中有20只患病,请判断此种药物是否有效.【方法指导】结论2与临界值比较求2的值作22列联表【解析】据题意做出列联表:患病未患病总计服用药104555未服用药203050总计3075105根据公式:2=6.13.841.所以我们有95%以上的把握判断该药物有效.【小结】在实际问题中,独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系,得到的结论可能犯错误,这是数学中的统计思维与确定性思维的不同之处,但我们可以利用统计分析的结果去预测实际问题的结果.用独立性检验的方法准确地判断两个变量的关联性,但要注意其一般步骤及准
12、确计算.1.(2014年湖北卷)根据如下样本数据x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为=bx+a,则().A.a0,b0B.a0,b0C.a0D.a0,b0【解析】作出散点图如下:观察图像可知,回归直线=bx+a的斜率b0.故a0,b0.【答案】B2.(2014年江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是().表1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2视力性别好差总计男41620女122032总计163652表3智商
13、性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量【解析】A中,a=6,b=14,c=10,d=22,a+b=20,c+d=32,a+c=16,b+d=36,n=52,2=.B中,a=4,b=16,c=12,d=20,a+b=20,c+d=32,a+c=16,b+d=36,n=52,2=.C中,a=8,b=12,c=8,d=24,a+b=20,c+d=32,a+c=16,b+d=36,n=52,2=.D中,a=14,b=6,c=2,d=30,a+b=20,c+d=32,a+c=16,b+d=36,n=52,2=.,与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量.【答案】D一、选择题1.设某产品产量与产品单位成本之间的线性相关系数为-0.97,这说明二者之间存在着().A.高度相关 B.中度相关C.弱度相关D.极弱相关【答案】A2.设有回归直线方程y=2-1.5x,当变量x增加1个单位时().A.y平均增加1.5个单位B.y平均增加2个单位C.y平均减少1.5个单位D.y平均减少2个单位【解析】设变量x增加1个单位后y变为y,则y=2-1.5(x+1)=2-1.5x-1.5=y-1.5.【答案】C3.已知对一组观测值(xi,yi)作出散点图后,
