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1、椭圆及其标准方程【教学内容】高二数学第二册第八章第一节“椭圆及其标准方程”。【教学过程】一、创设情境，引出问题（多媒体演示地球绕太阳旋转运行录像，描绘出运行轨迹。）师：（启发提问）地球绕太阳旋转的轨迹是什么图形？生：椭圆。师：好，这就是我们今天这节课所要探究的课题，请同学们再举一些椭圆的例子。生：鸡蛋、芒果、人造地球卫星的运行轨迹。师：由此可见，椭圆在实际生活中是很常见的，所以我们学习椭圆的相关知识是非常必要的。我们知道，曲线是动点按照某一规律运动形成的轨迹，那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？二、尝试探究，形成概念（多媒体演示实验画法：把细绳的两端点固定在画图板上的F1和F2两点，当绳长大于
2、F1和F2的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。）师：下面请同学们自己动手作图。（学生活动：拿出课前准备好的纸板、细绳、图钉、铅笔，自己动手绘图，表现出浓厚的兴趣，并体验了成功后的喜悦。）教师趁此机会，提出问题。（多媒体展示）1为什么必须使绳长大于F1与F2之间的距离？小于或等于行吗？2试描述椭圆是满足什么条件的点的轨迹。（学生反复演示并分组讨论）学生代表发言：生甲：当绳长等于F1、F2之间的距离时，点的轨迹是线段。当绳长小于F1、F2之间的距离时，无轨迹。生乙：椭圆是与两定点的距离和为常数的点的轨迹，常数必须大于|F1F2|。师：（归纳椭圆的定义）平面内与两
3、定点的距离之和为常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。三、标准方程的探讨教师提问：1求曲线方程的一般方法是什么？2步骤如何？生：1坐标法。2一般步骤：建立适当的平面直角坐标系，写出曲线上任意一点的坐标；写出适合条件的点的集合；列出方程；化简得出轨迹方程。师：对于椭圆，我们如何建立坐标系，才能使得求出的方程最为简单呢？（学生分组讨论、研究）教师提问、归纳、评议、对比选定的两种方案。（多媒体展示）方案一 方案二选定方案一，要求学生按照求曲线方程的一般步骤，独立完成推导椭圆的方程。（教师巡视，了解学生解答情况。）教师板演推导过程的关键步
4、骤：（1）（建立平面直角坐标系）以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2中点为坐标原点，建立平面直角坐标系。设M（x，y）是椭圆上任意一点，设|F1F2|2C，则F1（C，0） F2（C，0），又设M到F1F2距离之和为2a，（2）（写出点的集合）由椭圆定义得：M点集合为PM|MF1|+|MF2|=2a（3）列方程：即（4）化简得 令 b2a2c2方程为b2x2a2y2a2b2即师：方程 叫做椭圆的标准方程，它表示的椭圆焦点在x轴上，那么，如果我们选择了方案二，结果又会如何呢？（学生猜想、讨论）学生代表发言：椭圆焦点在y轴上，只需将方程里面的x，y互换，即可得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程为
5、教师归纳总结：这样我们就得到了椭圆两种形式的标准方程。（多媒体展示）焦点在x轴上： 焦点在y轴上： 四、例题分析（屏幕显示例题1）例1求适合下列条件的椭圆的标准方程。（1）两个焦点的坐标分别是（4，0）（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10。（2）两个焦点的坐标分别是（0，2）（0，2），并且椭圆经过点（，）。师点拨：（启发）这两个小题的已知要求很明确，要不要按直接法的四步来求？生：不用，我们已经学习了椭圆的标准方程。师：那么应该怎样解呢？有什么经验可借鉴？生：这和圆的标准方程类似，可先确定标准方程的形式，再用待定系数法求解。师：思路很正确，请同学们迅速解答两道小题，注意正确选择标准方程形式。（学生解答、教师巡视、个别辅导。）做完以后，把答案与教科书对照，查缺补漏，发现错误，及时改正。五、知识反馈学生练习：（屏幕显示）1填空：如果椭圆上一点到焦点F1的距离等于6，则点P到另一焦点F2的距离是_。2写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a4，b1焦点在x轴上；（2）a4，c焦点在y轴上；（3）ab10，c2。六、归纳总结1椭圆的定义；2椭圆的标准方程，注意焦点位置与方程形式的关系；3用坐标法研究曲线，利用运动变化的观点分析问题。
