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1、2.3函数的周期性、对称性一、基本知识简述 1 函数的周期性 (1)对于函数,如果存在一个常数T0,能使得当x 取定义域内的一切值时,都有,则函数叫做以T为周期的周期函数.(2)周期函数具有无数多个周期,如果它的周期存在着最小正值,就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期,如常量函数.(3)周期函数具有如下性质:(I) 周期函数的定义域是无界的,(II) 若T为的周期,则nT均为的周期2 函数的对称性若函数对定义域内一切x(1) =函数图象关于y轴对称; =函数图象关于原点对称;.(2) 函数图象关于对称;函数图象关于成中心对称;证明:若(x,y)在y=f(x)上,则(2a-x,
2、2b-y)亦在y=f(x)上,即2b-y=f(2a-x)得(3)与的图象关于y轴对称;与的图象关于x轴对称;与的图象关于原点对称;与的图象关于直线对称;3.图像的变换(1) 平移变换(i)是将的图象向右平移个单位(ii)是将的图象向左平移个单位(iii)是将的图象向上(b0)或向下(b0)平移个单位(2) 翻折变换(i)可以看作的图象在x轴上方不变,x轴下方沿x轴向上翻折后所得.(ii)可以看作的图象在y轴右方不变,y轴右方沿y轴向左翻折后所得.(iii)可以看作的图象关于y=x翻折后所得.(3) 压缩变换(i)可以看作的图象沿x轴方向向y轴压缩或伸长到原来的倍所得.(ii)可以看作的图象沿y
3、轴方向向x轴伸长或压缩到原来的倍所得.二、 例题1.求函数的周期例1已知偶函数满足,当时,当时,由上题知6为的一个周期,双对称函数周期函数(1)定义在R上的函数的图象关于直线都成轴对称(),判断的周期性(2)定义在R上的函数的图象关于点都成中心对称(),判断的周期性(3)定义在R上的函数的图象关于直线都成轴对称,又关于点都成中心对称(),判断的周期性(1)(2),(3)例2函数对定义域内任意x总有关系,那么下列结论中正确的是()(A)不一定是周期函数(B)是周期为周期函数(C)是周期为2周期函数(D)是周期为周期函数2.求周期函数的表达式例3对任意实数x,函数满足等式:,当时,则当时,例4已知
4、是R上以2为周期的偶函数.若在区间上,则对任意,在区间上的表达式为3.求对称函数的表达式例5若函数的图象关于直线对称,当时,则当时,则例6已知曲线C与抛物线关于点(2,1)对称,函数的图象与曲线C关于x轴对称,则的函数关系式为4.用函数图像的对称性求函数方程根的和例7函数对一切实数x都满足并且方程有三个实根,这三个实根的和例8方程和的实根分别为和,则等于提示 和图像关于某直线对称,且都和直线相交三、 习题1.若函数和都是周期函数,最小正周期都是T,对于函数y=,以下判断中,正确的是 ( )(A) 最小正周期都是T(B)最小正周期都是t,且tT(C)是周期函数,但可能没有最小正周期(D)可能是非
5、周期函数2.函数与的图像( )(A) 关于直线对称(B) 关于直线对称(C) 关于直线对称(D) 关于直线对称3.设实数集R上定义的函数,对任何都有1,则这个函数的图像( )(A)关于原点对称 (B) 关于y轴对称 (C) 关于点对称 (B) 关于点对称4.函数的定义域和值域都是,那么函数的图像 ( ) (A)在第1象限 (B) 在第2象限 (C) 在第3象限 (D) 在第4象限5. 函数的图像与x轴围成封闭区域的面积是( ) (A)2 (B) (C) 1 (D) 6. 设函数是周期为2,且在区间0,1内单调递减,则的大小关系为( )(A) (B) (C) (D) (二)填空题7. 定义在实数集上的函数满足,则+2000的值为_8.函数的图像关于直线x=1对称,则a=_9. 定义在R上的函数、的图象重合,它们的值域是_10.定义在R上的函数满足=,(a是大于1的整数),若方程=0有n 个实根,它们的和为2001,则a, n的值可能有_种(三)解答题11. 函数是偶函数,且是周期为2的周期函数,当时, ,在的图像上有两点A、B,它们的纵坐标相等(A点在B点的左边),横坐标都在区间1,3上,定点C的坐标为(0,a),其中a2,求面积的最大值(用a表示)2.3函数的周期性、对称性第1页共4页