《2.3函数的周期性、对称性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.3函数的周期性、对称性（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3函数的周期性、对称性一、基本知识简述 1 函数的周期性 (1)对于函数，如果存在一个常数T0，能使得当x 取定义域内的一切值时，都有，则函数叫做以T为周期的周期函数.（2）周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数.（3）周期函数具有如下性质：（I） 周期函数的定义域是无界的，（II） 若T为的周期，则nT均为的周期2 函数的对称性若函数对定义域内一切x(1) =函数图象关于y轴对称； =函数图象关于原点对称；.(2) 函数图象关于对称；函数图象关于成中心对称；证明：若(x,y)在y=f(x)上，则(2a-x,
2、2b-y)亦在y=f(x)上，即2b-y=f(2a-x)得（3）与的图象关于y轴对称；与的图象关于x轴对称；与的图象关于原点对称；与的图象关于直线对称；3.图像的变换（1） 平移变换（i）是将的图象向右平移个单位（ii）是将的图象向左平移个单位（iii）是将的图象向上(b0)或向下(b0)平移个单位（2） 翻折变换（i）可以看作的图象在x轴上方不变，x轴下方沿x轴向上翻折后所得.（ii）可以看作的图象在y轴右方不变，y轴右方沿y轴向左翻折后所得.（iii）可以看作的图象关于y=x翻折后所得.（3） 压缩变换（i）可以看作的图象沿x轴方向向y轴压缩或伸长到原来的倍所得.（ii）可以看作的图象沿y
3、轴方向向x轴伸长或压缩到原来的倍所得.二、 例题1.求函数的周期例1已知偶函数满足，当时，当时，由上题知6为的一个周期，双对称函数周期函数（1）定义在R上的函数的图象关于直线都成轴对称（），判断的周期性（2）定义在R上的函数的图象关于点都成中心对称（），判断的周期性（3）定义在R上的函数的图象关于直线都成轴对称，又关于点都成中心对称（），判断的周期性（1）（2），（3）例2函数对定义域内任意x总有关系，那么下列结论中正确的是（）（A）不一定是周期函数（B）是周期为周期函数（C）是周期为2周期函数（D）是周期为周期函数2.求周期函数的表达式例3对任意实数x，函数满足等式：，当时，则当时，例4已知
4、是R上以2为周期的偶函数.若在区间上，则对任意，在区间上的表达式为3.求对称函数的表达式例5若函数的图象关于直线对称，当时，则当时，则例6已知曲线C与抛物线关于点（2，1）对称，函数的图象与曲线C关于x轴对称，则的函数关系式为4.用函数图像的对称性求函数方程根的和例7函数对一切实数x都满足并且方程有三个实根，这三个实根的和例8方程和的实根分别为和，则等于提示 和图像关于某直线对称，且都和直线相交三、 习题1.若函数和都是周期函数，最小正周期都是T，对于函数y=，以下判断中，正确的是 ( )(A) 最小正周期都是T（B）最小正周期都是t，且tT（C）是周期函数，但可能没有最小正周期（D）可能是非
5、周期函数2.函数与的图像( )(A) 关于直线对称(B) 关于直线对称（C） 关于直线对称(D) 关于直线对称3.设实数集R上定义的函数，对任何都有1，则这个函数的图像（ ）(A)关于原点对称 (B) 关于y轴对称 (C) 关于点对称 (B) 关于点对称4.函数的定义域和值域都是，那么函数的图像 ( ) (A)在第1象限 (B) 在第2象限 (C) 在第3象限 (D) 在第4象限5. 函数的图像与x轴围成封闭区域的面积是( ) (A)2 (B) (C) 1 (D) 6. 设函数是周期为2，且在区间0,1内单调递减，则的大小关系为( )(A) (B) (C) (D) (二)填空题7. 定义在实数集上的函数满足，则+2000的值为_8.函数的图像关于直线x=1对称，则a=_9. 定义在R上的函数、的图象重合，它们的值域是_10.定义在R上的函数满足=，(a是大于1的整数)，若方程=0有n 个实根，它们的和为2001，则a, n的值可能有_种(三)解答题11. 函数是偶函数，且是周期为2的周期函数，当时， ，在的图像上有两点A、B，它们的纵坐标相等（A点在B点的左边），横坐标都在区间1,3上，定点C的坐标为(0,a)，其中a2，求面积的最大值（用a表示）2.3函数的周期性、对称性第1页共4页
