《【经典高考】高考数学圆锥曲线齐次式与点乘双根法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【经典高考】高考数学圆锥曲线齐次式与点乘双根法（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【经典高考】高考数学圆锥曲线齐次式与点乘双根法，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值2 2例1： QQ 为椭圆 二爲=1上两个动点，且 OQ! _0Q2，过原点O作直线QQ2的垂 2b b线0D，求D的轨迹方程解法一（常规方法）：设 Qi（Xi,yi）,Q2（X2, y2），D（x,y。），设直线 Q1Q2 方程为 y 二 kx m，y = kx m联立 x2y2化简可得：一 12b2 b2 一2222 2 222(2b k b )x 4kmb x 2b (m -b ) = 0，所以X-|X22 2 22b (m b )2 2, 22b k b,yy =222 2b (m -2b k )2 2
2、722b k b因为OQ _ OQ2所以x-ix2yi y2 =2b2(m2 b2)2b2k2 b2b2(m2 -2b2k2)2b2k2 b22222 22(m -b ) m -2b k2k2 12k2 1.3m2 =2b2(1 k2)|l2又因为直线 Q1Q2方程等价于为y -yo -（x -xo），即讨-_昼x 生 yo对比于yoyoyo【经典高考】高考数学圆锥曲线齐次式与点乘双根法yo代入-中，化简可得:.yoyo 二 mxo2 * 4= -b23解法二(齐次式)设直线Q1Q2方程为mx ny = 1，联立2b22 22 2 2 2-m x - n y -2mnxy 二 x y222 _
3、 (mx ny) = 化简可得2b2 b2整理成关于x, y x, y的齐次式：(2-2b2n2)y2(1-2m2b2)x2-4mnb2xy = 0，进而两边同时除以x2，则2 22 2222 21 2m b(2 -2b2n2)k2 -4mnb2k 1-2m2b2 二 0= 心22 22-2b2 n2因为 OQj _OQ2 OQj _ OQ2 所以 k1k21-2m2b2=_1， = _12 2b n.3 =2b2(m2 n2)川又因为直线 Q1Q2方程等价于为y - y二x(x -x)，即 y = yx 乞 y对比于yyx2 厂m xy“代入“中，化简可得:2x2.22 - y b .2y
4、2 %xy【经典高考】高考数学圆锥曲线齐次式与点乘双根法的斜率之和为-1，证明：直线I恒过定点解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系xpy，如图所示:旧坐标 新坐标(x,y)二(x,y)即（0,1）二（0,0）所以x =xI=yy-1A：AB原来kpA - kpB二T= 1 y二-1则转换到新坐标就成为：必-准 =一1x|x2x-i x2即k1 k2 =T设直线I方程为：mxny=1【经典高考】高考数学圆锥曲线齐次式与点乘双根法原方程：2 2 2 2x 4y -4则转换到新坐标就成为：x 4(y 1) -4展开得：x2 4y2 8y =0构造齐次式：x2 4y2 8y(mx ny) = 0整
5、理为：29(4 8n)y 8mxy x =0两边同时除以x2，则(4 8n)k2 8mk 仁08m1所以“飞話j所以22心“21 x 而 mx ny=1. (n )x ny=1= n(x y)1=0对于任意 n都成立2 2x v二 0Ix y 0x = 2fx = 2则： x=，故对应原坐标为所以恒过定点(2,-1).1=0 y2y - -122 2例3已知椭圆专刊，过其上一定点P(2,1)作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于A,B两点，证明：直线 AB斜率为定值.解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x py，如图所示:【经典高考】高考数学圆锥曲线齐次式与点乘双根法tF1J AB B原来
6、kpA kpB =0=上1=o则转换到新坐标就成为：里准=o捲 一 2x2 -1x-i x2即k1 k2 =0设直线AB方程为：mx ny =1原方程：x2 4y8则转换到新坐标就成为：(x 2)2 4(y 1)8展开得：x2 4y2 4x 8y0构造齐次式：x2 4y4x(mx ny) 8y(mx ny) = 0整理为：y2(4 8n)xy(4 n 8m) (1 4m)x2 =0两边同时除以 x2，则(4 8n)k2 (4n 8m)k 1 4m=0【经典高考】高考数学圆锥曲线齐次式与点乘双根法所以 k/ k2 一4n 8m =0 所以门=_2m4+8 n1 而 mx ny =1 mx (_2
7、m)y = 1二 mx2my1 二 0所以 k=-21平移变换，斜率不变，所以直线AB斜率为定值 丄.2二，点乘双根法例4 :设椭圆中心在原点 0，长轴在x轴上，上顶点为 A，左右顶点分别为 F1, F2，线段OF1QF2中点分别为E,B2，且 AB1B2是面积为4的直角三角形.(1 )求其椭圆的方程(2)过吕作直线l交椭圆于P,Q两点，使PB2 _ QB2，求直线丨的方程2 2解：(1)x y =1204(2)易知：直线丨不与轴垂直，则设直线l方程为：y = k(x + 2) P(x-|, y1),Q(x2, y2)因为 pb2 _ qb2，则 pb2Lqb2=o，【经典高考】高考数学圆锥曲
8、线齐次式与点乘双根法所以(Xi-2,yJ(X2-22)=0二(Xi-2)(X2-2)k 所以直线l方程为：y (x，2 ).(x2)化2) = 0川y =k(x 2)现联立 x2 y2= X2 5k2 (x 2)2 - 20 = 01204则方程 x2 5k2(x 2)2 -20 =0 可以等价转化(V 5k2)(x -x)(x2 -x) =0即 x2 5k2 (x 2)2 _20 =(1 5k2)(x -x)(x2 x)令 x =2，4 80k2-20 二(1 5k2)(Xj -2)(x2 -2)=(人-2)(x2 - 2)二280k -161 5k22 | O令 x = -2，4 0 -20 =(1 5k )(x, 2)(x2 2)= (x1 2)(x2 2)280k2-16-16221 5k 1 5k1 +5k结合( -2)(X2 -2) k2(Xi 2)(X2 2) =0| 化简可得:1180k -16k 16=0=64k =16二 kk =42
