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1、第9周 多边形及其内角和、平面镶嵌1、知道什么是多边形，掌握多边形的对角线计算方法。2、掌握多边形内角和的计算方法。3、理解多边形外角和的规律特点。4、知道什么是平面镶嵌。一、多边形的有关概念在同一平面内，由不在同一直线上的n（n3的整数）条线段首尾顺次相接而成的图形叫做n边形。注意：（1）有几条边就是几边形；三角形、四边形是最简单的多边形。（2）多边形相邻两边组成的角是它的内角，一个n边形有n个内角；（3）多边形的边和它邻边延长线组成的角是它的外角，在多边形的每一个点处有两个外角，这两个角是对顶角，大小相等。因此，一个n边形有2n个外角。同一个顶点的内角和外角是互为邻补角。（4）连接多边形不
2、相邻的两个顶点的线段是它的对角线，从多边形的一个顶点出发，可以引（n3）条对角线，n个顶点共有n（n3）条对角线，但有一半是重复的，所以n边形有条对角线，（5）各个角相等，各条边都相等的多边形是正多边形。（6）下面两图中，图（1）任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线同一侧，这样的图形我们称为凸多边形，而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个n边形不都在这条直线的同一侧。我们称这样的多边形为凹多边形，今后我们课本提到的多边形，如果不加特别说明，一般指的是凸多边形。 图1 图2二、多边形的内角和从n边形的一个顶点出发可以画（n-3）条对角线，它们将n边形分成（n-2
3、）个三角形，因此n边形的内角和为：（n-2）180可见，多边形的内角和是180的整数倍。边数每增加1边，内角和增加1800作用：可用来计算多边形的角度数和边数。证明思路：通过添加辅助线把多边形的内角和转化为三角形内角和问题，如过多边形一个顶点作对角线，把多边形分成(n2)个三角形；也可过一边上一点，连结各顶点，把多边形分成（n1）个三角形；或者过多边形内部一点，连结各顶点，把多边形分成n边形。注意：要得到多边形内角和必须通过“三角形内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形；此公式可以已知边数求内角和，也可以已知内角和求边数。三、多边形的外角和在n边形的每一个顶点处取一个外角，这n个外
4、角的和就叫做多边形的外角和。多边形（n边形）的外角和等于360。可见，多边形的外角和是一个定值，与边数无关。证明思路：多边形的每个顶点的一个外角和一个内角互为邻补角，因此多边形的所有内角和外角和为n180，由于多边形的内角和为(n2)180，所以多边形的外角和为外角和等于n180(n2)180=360作用：可以用来计算角的度数。四、平面镶嵌1、用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分不留空隙地完整覆盖，叫做多边形平面覆盖(或平面镶嵌)平面镶嵌的两个条件：不重叠，无空隙.为了满足这两个条件，（1）拼接在一同一个顶点的各角的和恰好等于3600，围成一个周角（2）相相邻的多边形有公共边。2、用同一种正
5、多边形镶嵌：只有三种：正三角形、正四边形、正六边形 规律：正多边形的内角一定是360的约数3、用两种或以上正多边形镶嵌用两种或以上正多边形镶嵌只要几个正多边形的内角和是3600且边长相同就行4、用一般多边形镶嵌用同一种三角形、同一种四边形都可以【例题1】（巩固提高）一个十二边形有几条对角线？思路探索：过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，那么十二个顶点可以画129条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，所以实际对角线的条数应该为129254（条）解析：十二边形的对角线共有54条。边学边练1、如图，在四边形ABCD中，B的对角是_，C的对角是_，BC边的对边是_，CD边的对边是_.2、从
6、一个多边形的一个顶点出发，一共作了15条对角线，则这个多边形的边数是_。3、正三角形的每个内角为_。【例题2】（能力训练）若一个多边形的内角和与外角和的比为72，求这多边形的边数。边学边练1、已知五边形内角度数之比为23456，求该五边形各外角对应度数之比。2、一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为1190，则这个内角是多少度？3、若一个多边形的内角和与外角和的比为72，求这多边形的边数。【例题3】（中考链接）（2007年滨州）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 个平方单位思路探索：单独一个个求扇形的面积是不可能的，因为每个扇形圆心角不知道多
7、少，由于所有扇形的圆心角的和正好是多边形的外角和，而多边形的外角和为360，因此所有扇形正好组成一个半径1的圆，所以图中阴影部分面积之和为 个平方单位。规律总结：有关多边形问题，常常考察对角线的条数，多边形的内角和，外角和等知识，熟记其中蕴含的规律性的东西，遇到这些问题的时候就会迎刃而解。边学边练1、二十边形的外角和为_。2、在四边形ABCD中，若A90，BCD234，则B_，C_。3、一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是2520，那么原多边形的边数是_。 【例题4】（竞赛培优）：已知n边形恰有四个内角是钝角。这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？分析：设
8、四个钝角分别为，。则360+720。而另外n-4个内角都是直角或锐角，（n-4）0其余（n-4）个内角的和（n-4）90，360（n-2）180720+（n-4）90，即360（n-2）180720+（n-4）90，4n8。4n8的整数n有5，6，7三个，这样的多边形共有三个，其边数最小的是五边形，边数最多的七边形。边学边练1、某同学在计算一个多边形的内角和时，由于不慎漏加了一个角，得到的答案是13250，请问他漏掉的角是多少度？他计算的是几边形的内角和？2、小明在求一个多边形的内角和时，由于疏忽，把一个内角加了两遍，而求出的结果为，请问这个内角是多少度？这个多边形是几边形？3、一个凸多边形的
9、内角的度数从小到大排列，恰好依次增加相同的度数，其中最小角是，最大角是，求这个多边形的边数。一、填空题1、边数最少的多边形是_，它的内角和与外角和分别等于_和_2、n边形内角和与外角和之比是52，则n 3、四边形的四个内角之比是1234，那么，这四个角分别是_4、两个多边形的边数之比为12，内角和度数之比为13，这两个多边形分别是_边形和_边形。5、若五边形ABCDE中，ABC，D的外角为75，D的外角与E互余，则B的度数是_6、一个多边形恰好有三个角是钝角，这个多边形最多有_条边二、选择题1、下列图形中，是正多边形的是（ ） A、直角三角形 B、等腰三角形 C、长方形 D、正方形2、下列图形
10、中，不是凸多边形的是（ ） A B C D3、过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（ ） A、8 B、9 C、10 D、114、一个多边形的内角和等于1440，这个多边形的边数为（ ） A、8 B、9 C、10 D、75、在平行四边形ABCD中，ABCD的值可能是（ ） A、1234 B、1221 C、2211 D、21216、若多边形内角和增加360，则它的边数（ ） A、增加1 B、增加2 C、增加3 D、不变7、下列可能是n边形内角和的是（ ） A、300 B、550 C、720 D、9608、n边形的每个外角都为24，则边数n为（ ） A、14 B、
11、15 C、16 D、179、下列说法：四边形的四个内角，可以都是锐角；四边形的四个内角，可以都是钝角；四边形的四个内角，可以都是直角；四边形的四个内角，最多可以有两个钝角；四边形的四个内角，最多可以有两个锐角。其中正确的是（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个10、一个多边形的内角和是外角和的n（n是正整数）倍，则这个多边形的边数是（ ） A、n1 B、2n1 C、2n2 D、2n211、（n1）边形的内角和比n边形的内角和大（ ） A、180 B、360 C、n180 D、n360三、综合题1、试比较图中两个几何图形异同，请分别写出两个相同点和两个不同点。例如，相同点：正方形、正五边形的对角线相等；不同点：正方形有两条对角线，正五边形有五条对角线。 正方形 正五边形相同点：（1）_；（2）_；不同点：（1）_；（2）_；2、一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗？画出所有可能的图形。3、已知五边形内角度数之比为23456，求该五边形各外角对应度数之比。4、一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为1190，则这个内角是多少度？1
