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1、1.二项式定理的证明（用数学归纳法）证明：（1 ）当口=1时，左边=（a+b） 1= 8+匕=右边; 因此，当n =1时等式成立。(2)假设n=k时等式成立，即(a+b)k= C oak+C 1ak-1b+C rak-rbr+k kkC r+1ak-r-1br+1+C kTabk-1+C kbkkkk现在证明当n二k+1时等式也成立。由于(a+b)k+1= (a+b)k (a+b)=(C 0ak+C 1ak-1b +C rak-rbr+ C r+1ak-r-1br+1+kkkk+Ck-1abk-1+Ckbk)(a+b)kk= C 0ak+1+C 1akb + +C rak-r+1br+ C r
2、+1ak-rbr+1+ kkkk+Ck-1a2bk-1+Ckabkkk+ C 0akb+C 1ak-1b2+C rak-rbr+1+ C r+1ak-r-lbr+汁kkkk+Ck-1abk+Ckbk+1kk=C 0ak+1+ (C 1+ C 0) akb + (C r+1+C r) ak-rbr+1+kk kkk(Ck+ C k-1) abk+Ckbk+1kkk利用：C0= C 0，C 1+ C 0= C 1C r+1+C r= C r+1 k k+1k k k+1k k k+1Ck+ Ck-1= C k，Ck= C k+1 则得到(a+b) k+1=kkk+1kk+1C oak+l+c ia
3、kb +C r+iak-rbr+l+k+1k+1k+1+C kabk+C k+ibk+i。k+ik+i这就是说，如果n=k时等式成立，那么n=k+1时等式 也成立。根据（1）和（2）,可知关于任意自然数!，公式都。2证明：当m & 1，2k -1时，C 2mk 1 是奇数。证明:对任何一个正整数m都存在唯一的自然数m = 2 km -1设 1 2 k1 1m 。 设1 ，与正奇数2= 2k2 12 ，Cm时，2k 1m ， 使 n = 2k2 1 当 m g 1,2,2k 1n(2 k 1)(2 k 2) (2 k m)1 x 2x x m(2 k 2 k2 1 ) (2 k 2 km 1 )
4、2m2 k2 /2 km 12mkk 2 / ) (2 kkm /)2m1111 2 mT上式的分子、分母都是奇数，且分式值是正整数,(2k 2k11 )i2y1(2kk1 l )(211c 2k是奇数。3.证明：k + c k + Ck+ Ck + Ck 二Ck+ikk+1k + 2n-1 nn+1=Ck+1 +(c k+1 k+1k+2C k+1) + (C k+1 C k+1 ) + + (C k+1 C k+1) + (C k+1 C k+1 ) = C k +1k + 3k + 2k+1nn 1k+1n +1nk+1n+1c k+1 k+1c kk+1+ Ck+ 2+Ckk+3+C!
5、1+ckn二 |Ck+1 |+Ckk + 2Ck +Ckn -1 n=Ck+1k+3+k+3二 |Ck+1 n1k+1n+ Ck 二 Ck+1n n+14.证明k 3 = (k -1)k(k +1) + k = 6C3k +1+C1k13 + 23 + + n3 = 6(C3 + C3 + + C334n +1)+(C1 +C112+ + C1)n=6C 4+ C 2=n+2n+11 n (n +1) 225（1）将各斜边的数字相加后按从上而下的顺序列 出：1，1，2，3，5，8，13，21，34。（2）研究上述数列的规律后，可以猜测：无穷阶 杨辉三角类似的数列为：（a ： a = a = 1
6、,a = a + a （n g N*） n 12n+2n+1na（3）将 n 表示成组合数的和，并证明a = a + an+ 2n+1na = C k_ + Ck -2 + + C02 kkk+12 k-1 ,a = Ck-1 + Ck-2 + Co（n g N*）2k -1k -1k2k -2根据杨辉三角的基本性质3 可以推出a = a + a , a = a + a2k2k -12k -22k +12k2k -162 n - 1阶杨辉三角中，禺数与奇数，哪个更多?3n2 n - 1 阶杨辉三角中，共有个奇数，共有22n-1 + 2n-1 一 3n 个偶数（kGN*）, 试比较3与22 n-
7、1 + 2 n-1 - 3 n的大小7演示实验o教师或学生将16个均匀小球逐个平稳 地放入如图的教具内。统计最后各个矩形 框内的小球个数。连续做三次实验，分析 统计结果；并将结果推广到有n+1层的教 具，2 n个小球的情形，并给出合理解析。（1）设小球从第一层落入第n层下面的第k个矩 形框的通道条数为F（n，k），则根据教具的对称性及 小球的均匀性，可建立如下递推模式：F（1， 1）=1， F（n， k）=F（n， n-k+1），F（n+1，k）=F（n，kT） +F（n，k），k=1，2，n+1，规定F （n，0）=F（n，n+1）=0 （nN *）。类比杨辉三角形的基本性质：C 0 = 1
8、, C r = C n - r , C r = C r-1 + C r0nnn+1nn可猜测VS + h =k = 1，2, ，n + 1（可以用数列方法证明结论为真，留课后思考）故在理想状态下2 n个小球从第一层落到第n层, 从左到右各矩形框内的小球个数分别为C 0 , C1,C k，,C n-1 , C nn nnn n 。（2）小球从某层落到下层可看作进行一次随机试1验，其中小球向左边落入的概率2。那么小球从第 一层落到第n+1层可以看成是进行n次独立重复试 验，小球最后落入第k个矩形框内可以看成是小球从 左 边 落 入 恰 好 发 生 n-k+1 次 ， 其 概 率 为P = C n
9、- k+1knCk-1 -n(1、n,k 1,2,n +1(2丿在大量重复试验下，统计规律为：2 n 个小球落到 第 n+1 层 的 第 k 个 矩 形 框 内 的 小 球 个 数 为P - 2n Ck-1,k 1,2,n +1kn8.“杨辉三角”，与“11的方幂”仔细观察“杨辉三角”不难发现，0 行是 1= 11o, 1 行是 ll=lli, 2 行是 121=lb, 3 行是 1331 = 113,；由此猜测：n行就是lln.这种猜测是正确的！不过这里要注意的一点是，对第5 及 以下的各行，要注意进位问题，凡大于或等刊 的数必须逢十进一，例如116，第6行写的是1、6、15、20、15、6
10、、1,第三、第四、第五个数进 位以后就应该是1771561，所以，116=1771561.9“杨辉三角”与“兔子繁殖问题”中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题：假 定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再 过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个 月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一 雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可 以繁殖成多少对兔子？对于斐波那契提出的这个兔子繁殖问题”， 虽然我们可以一个月一个月向后推算一对刚出生 的小兔在一年内可繁殖成多少对兔子，但毕竟要 费一番功夫，如果把它与杨辉三角联系起来，就 会发现一个很有趣的结果：兔子繁殖问题的
11、答案 可以从杨辉三角得到.首先，我们把杨辉三角略加改写，列成如下 的直角三角形表，表中每一斜线平行的）上各个 数之和列在表的左侧，如则左侧从上而下的一列数1，1，2，3，5，8，13,正好是刚生的兔子第一个月后的兔子第 二个月后的兔了，第三个月后的兔子，个月后 的兔子的对数“兔子繁殖问题”的答案就是上 表写到第12 行左侧的那个数，即233左侧这列 数又称为“斐波那契数”“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题， 中小学的数学中时有出现图1是某城市的一部分街道图，纵横各有五 条路如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向 东)，那么有多少种不同的走法？我们把图1稍加转动，使A在正上方，B在 正下方，然后在图1的交叉点标上相应的杨辉三 角数，其数阵就是图2的菱形数表.有趣的是，B处位置所对应的杨辉三角数， 正好就是本题的答案(70)有了杨辉三角，我行们就可以很快地得到从 A处走到任意交叉点的不同走法的种数由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有着天然的“姻 缘”
