《随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布.学生版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布.学生版（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二项分布知识内容1 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，并且是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量叫做一个随机变量随机变量常用大写字母表示如果随机变量的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量离散型随机变量的分布列将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率列表表示：我们称这个表为离散型随机变量的概率分布，或称为离散型随机变量的分布列2几类典型的随机分布两点分布如果随机变量的分布列为其中，则称离散型随机变量服从参数为的二点分布二点分布举例:某次抽查活动中，一件产品合格记为,不合格记为，已知产品的合格率为,随机变量
2、为任意抽取一件产品得到的结果，则的分布列满足二点分布两点分布又称分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布超几何分布一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件,这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为,为和中较小的一个我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为，的超几何分布在超几何分布中,只要知道，和，就可以根据公式求出取不同值时的概率,从而列出的分布列二项分布1独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同在相同的条件下,重复地做次试验，各次试验的结果相互独
3、立，那么一般就称它们为次独立重复试验次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为2二项分布若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是,其中于是得到的分布列由于表中的第二行恰好是二项展开式各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布,记作二项分布的均值与方差：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布,则，正态分布1 概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量,则这条曲线称为的概率密度曲线曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是,而随机变量
4、落在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积2正态分布定义:如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用,则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量正态变量概率密度曲线的函数表达式为，其中，是参数,且，式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差期望为、标准差为的正态分布通常记作正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线标准正态分布：我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布重要结论：正态变量在区间，内,取值的概率分别是，正态变量在内的取值的概率为,在区
5、间之外的取值的概率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则若,为其概率密度函数,则称为概率分布函数,特别的，,称为标准正态分布函数标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可3离散型随机变量的期望与方差1离散型随机变量的数学期望定义:一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，,，这些值对应的概率是，,，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平2离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，这些值对应的概率是,，,
6、则叫做这个离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度)的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量3为随机变量，为常数，则；4 典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中,离散型随机变量的期望取值为，在次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为二项分布：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则，4事件的独立性如果事件是否发生对事件发生的概率没有影响，即,这时，我们称两个事件，相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件如果事件，相互独立
7、，那么这个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即，并且上式中任意多个事件换成其对立事件后等式仍成立5条件概率对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号“”来表示把由事件与的交（或积），记做（或）典例分析二项分布的概率计算【例1】 已知随机变量服从二项分布，则等于 【例2】 甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（ ）A B C D【例3】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 （用数值表示)【例4】 某人参加一次考试，道题中解对
8、道则为及格，已知他的解题正确率为，则他能及格的概率为_（保留到小数点后两位小数）【例5】 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为，现有5人接种了该疫苗,至少有3人出现发热反应的概率为 （精确到)【例6】 从一批由9件正品,3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率(结果保留位有效数字）【例7】 一台型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为,有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有台机床需要工人照看的概率是( ）A B C D 【例8】 设在4次独立重复试验中，事件发生的概率相同,若已知事件至少发生一次的概率等于，求事件在一次试验中发生的概率【例9
9、】 我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉如果每枚鱼雷的命中率都是，当我舰上的个鱼雷发射器同是向敌舰各发射枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留位有效数字)【例10】 某厂生产电子元件，其产品的次品率为，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数的概率分布列及至少有一件次品的概率【例11】 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是若某人获得两个“支持，则给予万元的创业资助;若只获得一个“支持”，则给予万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助求： 该公司的资助总额为零的概率； 该公司的
10、资助总额超过万元的概率【例12】 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是,经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润元；若顾客采用分期付款,商场获得利润元 求位购买该商品的顾客中至少有位采用一次性付款的概率； 求位位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元的概率【例13】 某万国家具城进行促销活动,促销方案是：顾客每消费元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金元某顾客消费了元，得到3张奖券求家具城恰好返还该顾客现金元的概率;求家具城至少返还该顾客现金元的概率【例14】 某单位为绿化环境,移栽了甲
11、、乙两种大树各2株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响求移栽的4株大树中:至少有1株成活的概率；两种大树各成活1株的概率【例15】 一个口袋中装有个红球（且)和个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球颜色不同则为中奖试用表示一次摸奖中奖的概率；若，求三次摸奖(每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为当取多少时,最大？【例16】 袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率为从A中有放回地摸球,每次摸出一个，有3次摸到红球即停止求恰好摸5次停止的概率;记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，
12、求随机变量的分布若两个袋子中的球数之比为,将中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求的值【例17】 设飞机有两个发动机，飞机有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率是的函数,其中为发动机启动后所经历的时间，为正的常数，试讨论飞机与飞机哪一个安全?(这里不考虑其它故障)【例18】 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是，且各发动机互不影响如果至少的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行问对于多大的而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全?【例19】 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件
13、是相互独立的，并且概率都是设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列;求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率【例20】 一个质地不均匀的硬币抛掷次，正面向上恰为次的可能性不为,而且与正面向上恰为次的概率相同令既约分数为硬币在次抛掷中有次正面向上的概率，求【例21】 某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第2位）5次预报中恰有次准确的概率；次预报中至少有次准确的概率；5次预报中恰有次准确，且其中第次预报准确的概率；【例22】 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第层可以停靠若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，求至少有两位乘客在20层下的概率【例23】 10个球中有一个红球,有放回的抽取,每次取一球，求直到第次才取得次红球的概率【例24】 某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工设各台设备发生的故障是相互独立的,且每台设备发生故障的概率都是试求：若由一个人负责维修20台,求设备发生故障而不能及时维修的概率；若由3个人共同负责维修80台设备
