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1、形以定性 数以定量-解斜三角形中“边边角”问题的解题策略探究华在解斜三角形这一章中，有一个常见的也是易错的题型：“边边角”问题-即已知三角形的两边和其中一条边的对角，求三角形的另外一边和两角的问题。这里我先引入两道例题：例1、 在中，求角例2、 在中，求边这两道例题很显然，条件是完全一致的，但所要求的结果却不同，例1是要求角，而例2是要求边。我们可以设问：在条件一致的情况下，解题所用到的方法也保持一致吗？在对正余弦定理有了较为熟练掌握的前提下，我们不难得出结论：解题的方法当然可以保持一致，但对所要求的结果，简便性却有不同！例1要求角，我们可以根据正弦定理得到：，从而求出，因为，所以或又因为，所
2、以例2要求边，我们可以根据余弦定理得到：，从而解得又因为，所以从上述两题的解法中，我们可以看出例1使用的是正弦定理，而例2使用的是余弦定理。当然，例如果先用余弦定理先解出，再用一次余弦定理求出角也是可以的，同理例2如果先用正弦定理解出角，从而解出角，再使用一次正弦定理求出也是可以的。也就是说这两道例题都可以用正弦定理或余弦定理的方法来解决，但解法的便捷性却是完全不同的.于是有：策略一:“边边角”问题，如果求角，用正弦定理，如果求边，用余弦定理.其实，在具体的教学实践中，我们可以发现，选用何种方法来解决“边边角”问题只是难点之一，学生更容易迷惘的地方在于：“边边角”问题中出现两个解时， 是否要排
3、除其中的多余解？如果要排除又用什么方法排除？这里，我不妨以下题为例：已知，求角或求边.若角是钝角或直角，不难说明：用正弦定理求角时根据边与角的大小对应原则舍去大角，用余弦定理求边时，根据三角形边长一定为正值舍去负值或零（这里假设有解），因此我们下面重点对角是锐角的情况进行分析。首先，我们要了解到：用正弦定理会解出两解的原因是由求角的过程中，可以产生两个互补的解；用余弦定理会解出两解的原因是关于的一元二次方程可能会产生两个不同的根.若不要求解三角形，教材上给出了作图判定解的个数的几何方法，如下图：图2图5图4图3图1AC BAC BAC BBAC BAC 这五种情况分别为：图1：，无解；图2：，
4、有一个解；图3：，有两个解；图4：，有一个解；图5：，有一个解；通过以上作图以对图形的分析，我们不难得出“边边角”问题中解的个数。对于不要求解三角形仅要求判断解的个数的问题，这是一个快捷而准确的方法。策略二：“边边角”问题如果仅要求判断解的个数，用作图法。但通过图形仅仅能判断解的个数，并不能求出具体的解，定性而不定量。如果要求出具体的角或边的大小，就需要借助正弦或余弦定理中的数量运算。而在这个过程中，学生最常见的困惑便在于：检验解的合理性时，用什么理由舍去不合理的解；余下的解能保证合理吗？为了解除学生在这方面的困惑，我们从理论上对正弦定理和余弦定理解“边边角”问题进行系统分析。若求角，由正弦定
5、理可得。（1） 若，则，；（2） 若，则，；（3） 若，则，经检验（边角的大小对应、两角内角和小于）两解均可；（4） 若，根据“等角对等边”原理，直接得出；（5） 若，则，因为，根据“小角对小边”，所以，所以只能是锐角.当然，如果用正弦定理解题时再针对这五类情况进行分析，未免过于繁琐，在此我们进行一些合并工作后可以得到第三个解题策略：策略三：若角是锐角，用正弦定理解“边边角”问题时，若，所得即所求，无需删解；若，用边角的大小对应原则，舍去钝角。若求边，由余弦定理可得，推出，这是一个关于的一元二次方程，（1） 若，则，；（2） 若，则，；（3） 若，则，因为，所以，因此解出的两个解的符合均为正，
6、均合理；（4） 若，因为，所以；（5） 若，则，因为，所以.同样，进行合并后，我们得出了第四个解题策略：策略四：若角是锐角，用余弦定理解“边边角”问题时，若，所得即所求，无需删解；若，根据三角形的边一定为正值，舍去负值或零.对于解决“边边角”问题，笔者给出了以上三个策略，为了让读者更清晰地了解解决“边边角”问题的思路和策略，这里给出策略整体的程序框图以供参考：开始输入需要解三角形作图判定解的个数求角输出求得的所有解输出是锐角的解输出求得的所有解用正弦定理用余弦定理求角输出正解求角结束YNN（求边）YYNNY“形以定性，数以定量”，针对不同的题目要求，我们应该有不同的解题策略。当然，对于解三角形中的“边边角”问题，我给出以上分析和策略，目的不仅仅在于得到一个我们可以去记住并在解题中应用的结论，更重要的是对“形”中的性质通过两种方式进行了“数”的诠释！
