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1、信阳师范学院普通本、专科学生专业课期终考试试卷数学与信息科学学院 数学及信息科学专业 2003级本科20032004学年度第二学期高等代数试卷（A）班级 学号 姓名 题号一二三总分核分人满分304030100得分试卷说明：1、试卷满分100分，共五页，三个大题，120分钟完成试卷。2、钢笔或圆珠笔直接答在试题中（除题目有特殊规定外）3、答卷前将密封线内的项目填写清楚得分评卷人一. 填空题(每小题5分，共30分).1. 设能被整除,则= ,= .2. 行列式= .3. 设线性相关,则满足关系式 .4. 设均可逆,则 .5. 设方程组有解,则应满足条件 .6. 当满足 时?正定.第一页（共5页）得
2、分评卷人二. 计算题(每小题10分,共40分).1. 求多项式的有理根,并给出分解式.2. 计算,并求时的.第二页（共5页）3. 问为何值时,线性方程组有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解(用导出组的基础解系表示).第三页（共5页）4. 设矩阵和满足关系,其中,求矩阵.分评卷人三. 证明题(每小题10分,共30分).1. 设是一组维向量,证明: 线性无关任一维向量都可由线性表示.第四页（共5页）2. 矩阵称为下三角矩阵,如果时有.请用数学归纳法证明:可逆的下三角矩阵的逆仍是下三角矩阵.3. 设为级实对称矩阵,且.证明:存在非零维列向量,使得.第五页（共5页）2003级本科班 高
3、等代数(上) 终考试题参考答案及评分标准一.(每小题5分, 本题30分)1., 2. 3.4. 5. 6.二.(本题40分)1. 解 设其有理根为,则,那么可能的有理根为-1,1,-3,3(3分).由如下综合除法-1 1 1 -6 -14 -11 -3-1 1 0 -6 -8 -3 ( 0-1 1 -1 -5 -3 ( 0-1 1 -2 -3 ( 0 1 -3 ( 0则知的有理根为-1(4重),3(8分).因此(10分).2. 解 将行列式按第1列展开,那么(3分)则,记,则,那么,则 .由于,且行列式中是对称的,则也有 ,两式联立,则解得(8分).当时,则 (10分).3. 解 对方程组的增
4、广矩阵作初等行变换:(5分).当时,方程组有唯一解;当时,方程组无解;当时,方程组有无穷多组解,其通解为为任意常数(10分).4. 解 由,则(2分),所以(10分).三.(本题30分)1. 证 记向量组为组. 任给维向量,则线性相关(因为个维向量必线性相关),又线性无关,则可由线性表示(5分).由题设,则单位向量组可由线性表示,又任一维向量都可由单位向量组线性表示,则也可由线性表示, 所以与等价,那么秩=秩(因单位向量组线性无关), 因此线性无关(10分).2. 证 对方阵的阶数作归纳. 时显然成立. 假设时结论成立. 下证 时的情形, 设为下三角阵, 记(分块),则存在,且为阶可逆的下三角
5、阵,由归纳假设,那么也为下三角阵.又,那么,所以时也成立(10分).3. 证 记,则为实二次型.由于,则秩,且负惯性指数大于0,那么存在非退化线性替换,使(5分).取对应的非零向量 (前个分量均为零),令,则(实维列向量),使(10分).信阳师范学院普通本、专科学生专业课期终考试试卷数学与信息科学学院 数学及信息科学专业 2004 级本科 2005 2006 学年度第二学期高等代数试卷（ A ）班级 学号 姓名 题号一二三总分核分人满分324028100得分试卷说明：1、试卷满分100分，共五页，三个大题，120分钟完成试卷。2、钢笔或圆珠笔直接答在试题中（除题目有特殊规定外）3、答卷前将密封
6、线内的项目填写清楚得分评卷人一、填空题（每小题4分，共32分）1 设是线性空间的一组基,其中,则在基下的坐标为 .2 设,则的一组基是 ,维数为 .3 是平面直角坐标系,是平面上的向量对第一三象限角的平分线的垂直投影,是平面上的向量对的垂直投影,则在基下的矩阵为 .4 设为3阶矩阵,秩为2， 则的3个特征值为 .5 矩阵的最小多项式是 .6 矩阵的初等因子是 .第一页（共5页）7 设欧氏空间的一组基为,且该基的度量矩阵为,则内积 .8 与向量组都正交的单位向量 .得分评卷人二、证明题（每小题10分，共40分）1 证明:和为直和的充要条件是2 在维线性空间中,设有线性变换与向量,使得,但.证明:
7、在某组基下的矩阵是若当块形矩阵.第二页（共5页）3 设是一维欧氏空间,是中的一个固定的向量,记子空间,证明:.4 设为阶实对称矩阵,且,证明:存在正交矩阵使得.第三页（共5页）得分评卷人三、计算题（共28分）1求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间的和的维数和基.设,（8分）.2设矩阵，（12分）.1)求A的特征值和特征向量；2)求A的若当标准型.第四页（共5页）3 在欧氏空间中,子空间,求的一组标准正交基,其中,（8分）.2004级高等代数下期末试题参考答案及评分标准一.(每小题4分,共32分)1. 2. 3 3. 4. 5. 6. 7. 0 8.二.1 证，则，由于零向量分解式唯一，则必
8、有，因此(5分).设，则，因此，所以为直和(5分).2 证3 证 取,由定理1，可将扩充为的一组标准正交基,则有,因此;但是是的非平凡子空间,所以,即,所以(10分).4 证 由于是实对称矩阵,则存在正交阵使,其中为特征值,可不妨设,则.由于,则,从而,所以(10分).三.2 解 1)矩阵的特征多项式为,那么的特征值为(3分).当时,解得基础解系,那么属于特征值的全体特征向量为不全为零(6分).2)特征矩阵，则矩阵的初等因子为，所以A的若当标准型为(12分).3 解 不难验证是线性无关向量组,所以构成的基(2分),通过施密特正交化方法,则有,.(6分)单位化即得的一组标准正交基为:,.(8分)
9、信阳师范学院普通本、专科学生专业课期终考试试卷数学与信息科学学院 数学及信息科学专业 2005 级本科 2005 2006 学年度第二学期高等代数试卷（ A ）班级 学号 姓名 题号一二三总分核分人满分403228100得分试卷说明：1、试卷满分100分，共五页，三个大题，120分钟完成试卷。2、钢笔或圆珠笔直接答在试题中（除题目有特殊规定外）3、答卷前将密封线内的项目填写清楚得分评卷人一、填空题（每小题4分，共40分）1 当满足 时?是正定二次型.2 设二次型,则的秩和正惯性指数分别为 .3 设是线性空间的一组基,其中,则在基下的坐标为 .4 设,则的一组基是 ,维数为 .5 是平面直角坐标
10、系,是平面上的向量对第一三象限角的平分线的垂直投影,是平面上的向量对的垂直投影,则在基下的矩阵为 .6 设为3阶矩阵,秩为2， 则的特征值分别为 .7 矩阵的最小多项式是 .第一页（共5页）8 矩阵的初等因子是 .9 设欧氏空间的一组基为,且该基的度量矩阵为,则内积 .10 设,则的标准正交基为 .得分评卷人二、证明题（每小题8分，共32分）1 设是实对称矩阵.证明:当实数充分大之后,是正定矩阵.2 证明维数公式: .第二页（共5页）3 设均为线性变换(维线性空间), 的个特征值互异. 且. 证明:的特征向量亦是的特征向量.4 证明:上三角的正交矩阵必为对角矩阵,且对角线上的元素为或.第三页（共5页）得分评卷人三、计算题（共28分）1 在中,求由向量生成的子空间的基与维数.设（8分）.2 在中,定义为其中求在基,下的矩阵（10分）.第四页（共5页）3 求正交线性替换化二次型成标准形（10分）.2005级本科专业课期终考试高等代数(下)A试卷参考答案及评分标准一.(每小题4分,共40分)1. 2. 3.4. ,(对一空2分)5. 6.(只写1,0的给3分)7. 8. 9
