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1、圆中的最值问题【考题展示】 题1 （2012年武汉中考）在坐标系中，点A的坐标为（3 ,0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2.设tan Z BOC=m，则m的取值范围是题2 （2013年武汉元调）如图，在边长为1的等边 OAB中，以边AB为直径作。D,以O为圆心OA长为半径作0O, C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交。O 于点E, BC=a , AC=b，求a b的最大值（有修改）题3 （2013年武汉四调）如图，Z BAC=60，半径长为1的圆O与Z BAC的两边相切，P为圆 O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D
2、、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为题4 （2013年武汉五模）在 ABC中，A 120 , BC 6.若 ABC的内切圆半径为r ,则r的 最大值为.（有修改）题5 （2013年武汉中考）如图，E, F是正方形ABCD的边AD上两个AE=DF.连接CF交BD于点G, 动点，满足连接BE交AG于点H若正方形的边长为2,则线段DH长度的 最小值是OBC题4图题5第1页共12页典题讲练】类型1(相关题：题5)1.1如图，边长为a的等边 ABC的顶点A, B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距离的最大值是 301.2在直角坐标系中，AABC满足，匕C=90, AC=8,
3、BC=6，点A, B分别在x轴、y轴上，当A点 从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动(下图)，求原点O到点C的距离OC 的最大值，并确定此时图形应满足什么条件.1.3如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，匕C=90 , AC=BC=2，点A、C分别 在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动.(1) 当A在原点时，求点B的坐标；(2) 当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；(3) 在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由.301.4边长为2的等边 ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动，顶点B在射线OD上移动，
4、匕AOD=45。，则顶点C到原点O的最大距离为1.5如图，。0的直径为4, C为。O上一个定点，ZABC=30。，动点P从A点出发沿半圆弧AB 向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过 点C作CP的垂线CD交PB的延 长线于D点.（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为_；（2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为_*IB1.6如图，定长弦CD在以AB为直径的。0上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点， 过点C作CP AB于点P,若CD=3, AB=8，则PM长度的最大值是 & /1.7如图，在RtAABC中，匕ACB=9
5、0, AC=4, BC=3,点。是平面内的一个动点，且AD=2, M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是M类型2 （相关题：题4）第3页共12页2.1如图，已知AB是。O的弦，C是。O上的一个动点，连接AC、BC,Z C=60,0 O的半径为2, WA ABC面积的最大值是时， APC的面积2.2如图，已知直线MN经过0 O上的点A,点B在MN上，连OB交0 O于C点，且点CAC= OB, 是OB的中点，1/ JR 2若点P是0 O上的一个动点，当AB= 的最大值为2.3如图，半圆O的半径为1, ACAB, BDXAB，且AC=1, BD=3, P是半圆上任意一点，则ABD
6、PC面 封闭图形积的最大值是2 4Rl ABC _ E AB=5则斜边上的高的最大值为2.5如图，若RtAABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r,则r的最大值为2.6如图，在ABC中，AB=10 , AC=8 , BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB, CA分别 相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是32.7如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A （- 4,0）、B（0,4）,。O的半径为1（0 为坐标原点），,.上 P iW A、P I! ? Oli:i 5壬 PQ .PQ 的最小值为2.8如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3,- 2）,0 A的半径为1,P为x轴上
7、一动 点，PQ切0 A于点Q,则当PQ最小时，P点的坐标为0Q类型3 （相关题：题3）3.1如图， ABC中，匕BAC=60,匕ABC=45, AB=2 , D是线段BC上的一个动点，以AD为直 径画。分别交AB，AC于E，F，连接EF.1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；2）求出该最小值.3.2如图，在 ABC中，已知AB=5, BC=,7，动点P、Q分别在边 AC上，使 APQ的外接圆与BC相 切，则线段PQ的最小值等于类型4 （相关题：题2）4.1如图，点C在以AB为直径的。O CD AB于P，设 PB=b.（参考-I；.上，AP=a， ab的最大值，a，b的值. 2
8、）如果a+b=10，并求出此时2.4、 2.54.2如图，半径为2的。O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，则AB2+CD 2=4.3如图，。O的半径为2，点P是。O内一点，且OP=，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则 四边形ABCD面积的最大值为4.5如图，线段AB=4, C为线段AB上的一以AC、BC为边作等边 ACD和等边 BCE,0 O外接于 CDE, 个动点，则0O半径的最小值为.4.6在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画0 O, P是0 O上一动点，且P在第 一象限内，过点P作0 O的切线与x轴相交于点A,与尸轴相交于点B,线段AB长度的最小值
9、是类型5 （相关题：题1）5.1如图，已知A、B两点的坐标分别为（-2 ,0） 、（0 , 1） ,0 C的圆心坐标为（0 ,-1），半径为1, D是0C上第7页共12页的一个动点，射线AD与y轴交于点,则左ABE面积的最大值是5.2如图，Rt AABC中，匕C=90,匕A=30, AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作。O,若。O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是.5.3如图，在RtAABC中，ZC=90, AC=6, BC=8, D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC 于点E,则线段CE长度的最小值是.ADCE B5.4在坐标系中，点A的坐标为（3,
10、 0），点B是y轴右侧一点，且AB=2，点C上直线y=x+1上一 动点，且CB AB于点B,则tan ACB m ,则m的取值范围是.O A5.5如图，A点的坐标为（-2 , 1）,以A为圆心的。A切x轴于点B, P （a, b）为。A上的一 个动点，请分别探索：b a的最大值；b a的最小值；b a的最大值；b a的最大 值；第8页共y12页AAA拓展延伸】：b 2a的范围；b 2a的范围;类型66.1如图，CD是。O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=4时，求：(1)AP+BP的最小值.(2) AP-BP的最大值.6.2如图，已知圆O的面积
11、为3n,AB为直径，弧AC的度数为80，弧BD的度数为20，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为 C6.4如图，AB是O O的白径，弦BC=2cm ,6.3如图，AB、CD是半径为5的。O的两条弦，AB=8, CD=6, MN是直径，AB MN于点E, CDMN于点F, P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 F是弦BC的中点，匕ABC=60 .若动点E以2cm/s的速 度从A点出发沿着A-B方向运动，设运动时间为t (s)，连接EF、CE，当t为秒时，CE+EF最小，其最 小值是.6.5四边形ABCD内接于圆，已知匕ADC=90 , CD=4, AC=8 , AB=BC .设
12、O是AC的中点.（1）设P是AB上的动点，求OP+PC的最小值；（2）设Q，R分别是AB，AD上的动点，求ACQR的周长的最小值.补充练习（与例题类型不完全对应）1. 如图，已知直线l与。0相离，OAl于点A, OA=5, OA与。0相交于点P, AB与。0相 切于点B, BP的延 长线交直线l于点C,若在。O上存在点。，使 QAC是以AC为底边的等腰 三角形，则。O的半径r的取值范 围为,CAI2. 已知：如图，Rt A ABC中，匕B=90o,匕A=30o, BC=6cm,点O从A点出发，沿AB以每秒3 cm的速度向B点方向运动，当点O运动了 t秒（t 0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切
13、于 点D,与边AB相交于E、F两点，过E作EG上DE交射线BC于G.1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是2）若点G在线 段BC的延长线上，则t的取值范围是3. 如图，。M,。N的半径分别为2cm, 4cm,圆心距MN=10cm. P为。M上的任意一点，Q为。N 上的任意一点，直线PQ与连心线】所夹的锐角度数为, 当P、Q在两圆上任意运动时，tan的最大值为4.如图，在矩形ABCD中，AB=3, BC=4,O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作。D, P为。D上的一个动点，连接AP、。？，则 AOP面积的最大值为BC5. 如图，在RtAABC中，匕C=90, AC=8, BC=6,经过
14、点C且与边AB相切 的动圆与CA、CB分别 相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是A D B6. 如图，在等腰RtAABC中，ZC=90, AC=BC=, 4D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作。0,00交AC于另一点F,在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为7. 如图，A、B两点的坐标分别为（2 , 0） 、（0 , 2） ,0 C的圆心的坐标为（-1 ,0），半径为1,若D是0C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E,则 ABE面积的最小值是.岫）8. 如图，等腰Rt ABC中，匕ACB=90, AC=BC=4,0 C的半径为1,点P在斜边AB上，PQ切 0 0于点Q,则切线长PQ长度的最小值为9. 在直角坐标系中，点A的坐标为（3, n的范围为0),点P（ m,n ）是第一象限内一点，且AB=2，则m10.在平面直角坐标系中，M （3, 0）、B（1，0），连接 PA、4），P是以M为圆心，2为半径的。M上一动点，A （-1， PB，则PA2+PB2最大值是11.
