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1、组合恒等式是组合数学的一个重要部分.它在数学的各个分支中都有广泛 应用,而且它的证明方法多种多样，具有很强的灵活性.下面通过儿个实例具体讲 述一下，儿种证法在组合恒等式中的运用.2代数法通常利用组合恒等式的一些性质进行计算或化简，使得等式两边相等， 或者利用二项式定理（*+），）”= % r在展开式中令工和y为某个特定的 值，也可以先对二项式定理利用慕级数的微商或积分后再代值，得出所需要的 恒等式.例 1 C：f + C；I + 2C： = C；, nm .分析：这个等式两边都很简单，我们可以利用一些常用的组合恒等式去 求证.证明:C 尸 +1 + 2C； =. bc-1 = b m + 1
2、“ n + 1 m .左边=C；：(T + + 2) m+1 +l m_ + ？ +2m(；- + ；)rn + n + l- mrn (/? + tn + 2)( + 1- m) + nr + m (7 +1)(7? + 1- m)= ，广+ 3+ 2n (/? +1)( + 1- in)( + 2)( + 1)(77/ i )(/ +1)( + 1- m)右边=C/n+1 =( + 2)!=( + 2)( + 1)！( +1 一 7)! (+1)! (in +1)( +1 一 7)( 一 7)! m =c，n ( +1)( + 2)n (/? +1 - m)(in +1)左边=右边即证.例
3、2 求证:3 +C；3，i + C：3T + +。；一3 + C；3 =2以.分析：看到上式，很容易想到二项式的展开式，尝试利用二项式定理去 做.证明：由二项式定理建立恒等式，(3 + n) = 3 + 3二 x+C； 3 心 F + . . +3尸 + /令”1,即得4 = 2 = 3 + 3- + C： 32 + + CT 3+1即证.例3 (1)设是大于2的整数，则C；-2C；+3C；+.+(T)C；=0.(2) 为正整数，则+3 C1 - 3 +1 C1 - 2 +1A1 +-1A1 +77 +分析：观察上面两式的系数，很容易想到它们和微分积分有关，我们可 以尝试利用求积分或微分的方法
4、去解决这道题目.证明：(1) (1 + x) = + C+C2 + + C；Z等式两边对x求导，(1+沪=+ 2C；x+ +令 X = 0 得，0 = C； - 2C： + 3C： + + (-1广c；：即证.(2)由二项式定理有，(1+*) = c：+c+. . +CM上式两边对X积分，有 (1+x)” dx = J； (C： + c；x+c,W+. . .+c;r )dx1nyk吉(1+沪|:=字命I: /t + 1女=0 K +111t)= C77 + 1切 k + 1即 1 + ? c： + ? c： + + 土 C；= 土 (2”刊一 1). 23+1 n+l此类方法证明组合恒等式的
5、步骤是先对恒等式( + ) =文两边1=0对X求一阶或二阶导数，或者积分，然后对X取特殊值代入，得到所需证明的 等式.我们也可以利用组合恒等式的性质，证明一些恒等式，例如利用 tn2 = 2C; + C*，求证：F + 2? + . . . +z = = ( +1)(2 +1) 6证明：左边= 2(C；+U+.+C；)+(Cl+ + +)= 2(i+c； + U+.+c：Y)+(i+c； + c；+.+c； Y)= 2C + C；_ 2(+ 1)! n(n -1)=T1(-2)!3!2=-n(n + l)(2n + l) 6同样的道理利用?3 =6席+ 6CZ + C：,可以证明,3-3313
6、 + 23 +-_ 2 _3组合分析法所谓组合分析法就是通过构造具体的组合计数模型或模型实例，利用不同的方法解得的结果应该相同，从而得到恒等式相等.例5 证明:C；c： = CT.证明：GU是+i元集中1元子集的个数，这些子集可以分为+1类.第0类:厂+1元子集中含有角，则共有c;个.第1类:不含角，但含久的/+】元子集共有CL个； 第类:不含但含的广+1元子集共有C；个.由加法原理得c;+c;+c;+c；r+c： = c：*.但是仁=0,当上 m).证明：构造组合模型，假设一个班有?个男生，有个女生，现在要选7个人，组成一组，那么有多少种选法.选法一：不区分男女生时，共有个人，选出？人，共有
7、选法C；选法二：选出的男生人数为A个，4 = 0,1,2,男生的选法共有女生的选法共有C：-。完成事件的选法共CT*种，于是c；y =乂因为cp = c所以cW, A = 0,1,2,?.即 UC + *+.+ C；：；c； = %（n m）.当 n = m 时，即有（C 尸 +（C;）2 + .+（C；）J4比较系数法主要是利用二项式定理中两边多项式相等的充要条件为同次慕的系数相 等加以证明.一般情况下，用比较系数法证明所需辅助函数利用慕的运算性质：（1 +封5=（1 +研（1 +封，其中7, 为任意实数，然后利用二项式定理的展 开得到两个多项式，再通过比较同次幕的系数得到所证的恒等式.上题
8、也可以利用比较系数法证明：（i+xr（i+xy=（c：+ca+.+c：v）（c+cx+.+cm）=eg+（*+c橱）x+ +eg）/+ +c;c;y所以/的系数为cc;+*+eg,又因为c：=c；.所以Uc:+eg”+ +eg=eg+cc+eg+.+*：,乂因为，（i+x）”（i+江=（i+= Ce+C；+ +ex+ +；*所以 ex+eg+c;c=%（ ?）即证.例 7 求证（c：）2+（c：）2+.+（cm.证明：（l + x）”（l + x）展开式中x的系数为:c：c;+c：c;+ .+；= C0 + CC； + C；C： + .+C；C：= (C + (C,) + +(：)乂 (l +
9、 x)”(l + x)” = (1 + .沪；(l + x)2/,展开式中 x”的系数为 C；“,所以即有 C)+(C)+ +)JC盘5数学归纳法我们都知道数学归纳法,在证明数列的题目中，我们就体会了数学归纳法 的好处，只要按照数学归纳法的两个步骤进行就可以了.组合恒等式是与自然数 有关的命题，因此，数学归纳法也就成为证明组合恒等式的常用方法之一.分析:证明:求证：C：；+C；：h+ C；f=C；：5这里有一个变量p，可以利用数学归纳法.(1)当 ” =1 时,P为自然数.C； + % = C%显然成立.（2）假设p = k时成立，即当p = k + l时，即上式两边同时加上C；+ + .+C
10、+C；：心+ c十即当p = k +1时也成立.由（1） （2）知命题对任意自然数皆成立.例 9 证明:（-1）。席+（-i）C：+（-i）K：p）”G；证明:当0 = 0时，上式显然成立,当7 = 1时,有 左边=（_i）g+（-i）】c=1c；=CL=右边所以原式成立.假设当m = k时成立，即（-1）。以+（-1）&+. . .+（-项3C2 当 / = k + 1 时，左边=W（-i）C+ +（-i）f=(-1/ 一也二一+(-1)奸】、7 (一S1)!妇 k)(-Sl)!(k + 1)!I)(一A 1)!妇l kV(/7-1)!(-1)(/7-/:-!)11.=(I) 7 (一S1)
11、!妇# + 1= (-l/+1(-S2)!(k + 1)! =(-i)y;(一1)!即当m = k + l时,命题也成立.由,（2）知，命题对任意自然数皆成立.结论关于组合恒等式证明的方法还有很多，例如，微积分法，二项式反演公 式法，儿何法等.本文介绍的主要是儿种常见的方法，以上的方法是以高中知识 为基础，也可以说是组合恒等式证明的初等方法.通过学习，我们学会用具体问 题具体分析和解决问题多样化的思想.以上例题的解法大多不是唯一的，本文也 有提及.但各种方法之间也存在一定的联系.有时一道题可以同时使用儿种方 法，思路很活！参考文献1孙淑玲，许临L龙.组合数学引论虬合肥，中国科学技术大学出版社,
12、1999.2吴顺唐.离散数学M.上海，华东师范大学出版社出版发行，1997： 79-138.3孙世新，张先迪.组合原理及其运用M.北京，国防工业出版社,2006.4陈镇邃，浅谈证明组合恒等式的几种方法J.数学教学通讯,1986, 02： 15-16.5张红兵，浅谈组合恒等式的证明方法J.高等函授学报,2005, 19 （13）： 37-42.6柳丽红，证明组合恒等式的方法与技巧J.内蒙古电大学刊，2006, 86： 86-87.7李士荣，组合恒等式的几种证法及应用J.重庆工学院学报（自然科学版）,2007, 21 (5)： 72-74.本论文是在沈邦玉老师的悉心指导下完成的。沈老师渊博的专业知识，严谨 的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人 的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树立了远 大的学术目标、掌握了基本的研充方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世 的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在沈老师的指导下完成的，倾注了沈 老师大量的心血。在此，谨向沈老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！
