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1、第九章(二) 重积分的应用 重积分的应用十分广泛。特别是在几何和物理两方面。几何方面的应用有运用二重积分求平面图形的面积;求曲面面积;运用三重积分求立体体积。物理方面的应用有求质量;求重心;求转动惯量；求引力等。在研究生入学考试中，该内容是高等数学一和高等数学二的考试内容。通过这一章节的学习,我们觉得应达到如下规定：1、掌握重积分的几何和物理意义,并能应用于实际计算。2、对于重积分的应用领域和常用应用问题有全面的理解，并能运用重积分解决应用问题。3、具有空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。一、知识网络图二、典型错误分析例1 求如下平面区域D的面积，其中由直线及曲线所围成
2、。如图： y (2，2) O 2 x错解分析平面图形的面积可以运用二重积分来计算，这一点并没有错。问题在于区域D,若先按x积分,再按y积分，则应注意到区域因此划分为两个部分,在这两个部分，、y的积分限并不相似，因此此题若先积, 后积y,则应分两部分分别积分,再相加。对的解 例2.设平面薄片所占的闭区域D是由螺线上一段弧与直线所围成，它的面密度为,求该薄片的质量。错解 分析 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分,因此解法的第一步是对的的。注意到积分区域的边界有圆弧，而被积函数为，因此积分的计算采用极坐标系算,这一点也是对的的。问题在于在直角坐标转化为极坐标时，应由来替代，解题过程中缺
3、少了一项。导致计算成果错误。因此务必不能漏掉。对的解 例3. 计算以xoy面上的圆周边成的区域为底,而以曲面为顶的曲顶柱体的体积。错解分析如按此思路求解，虽然接下去采用极坐标变换法,计算量仍然相称大，极易导致计算错误。该解法的不当之处在于没有注意究竟和面都具有对称性,可运用对称性减少计算量。对的解例4.求锥面被柱面所割下部分的曲面面积。错解 锥面被柱面所割下部分的曲面在xo面上的投影区域为,因此分析求曲面的面积,应一方面拟定曲面在坐标面上的投影区域，这一点是对的的。但解法中忽视了求曲面积分在前应有一因子。对的解 锥面被柱面所割下部分的曲面在xo面上的投影区域为。而。因此例5.设薄片所占的闭区域
4、D为半椭圆区域:,求均匀薄片的重心。错解:， 因此。又因,因此。分析重心的计算公式为，但,而。此类公式容易混淆。对的解如图,y x由于是均匀薄片,D为半椭圆区域具有对称性,因此。而,，因此,因此。三、综合题型分析例.求由下列曲线所围成的闭区域的面积:D由曲线所围成的第一象限内的闭区域。分析试着画草图发现区域D的形状不容易拟定。但若注意到四条曲线方程可变形为。由此想到可令,从而将不规则区域D化成一种方形区域。解 令，则区域D化为:。,。措施小结对于不规则图形，欲求其面积，可注意其方程与否有规律性,从中谋求合适的变量替代,将不规则图形转化为规则图形,以简化计算。例.求平面被三坐标面所割出的有限部分
5、的面积。分析 根据曲面面积计算公式:，平面在oy面上的投影为,即以a,b为直角边的直角三角形。如图: z O b y ax解平面可表达为。故,=。=措施小结 根据曲面面积计算公式:。一方面须将曲面方程化成的形式。并求出曲面在坐标面上的投影区域。本题的特点在于因子为一常数。因此问题就转化为计算投影区域的面积。而本题的投影区域正好为一三角形。故可直接求出其面积。例.计算由四个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积。分析一方面要画出题设的柱体。为此先考察柱体在o面上的投影： 。由于柱体被平面所截，其在投影正方形四个顶点上的高分别为，1，4,连接相应的交线，即得所求立体的草图。 z 1 2 y 1
6、3 x解措施小结求立体图形的体积,核心在于对的地画出图形.为此须理解各类常用空间几何体(如平面、直线、二次曲面等)的方程和形状。并能绘出各类几何体的交点或交线。从而拟定所求几何体的形状。例.求由平面所围成的柱体被平面及抛物面截得的立体的体积。分析求立体的体积,一方面需画出草图。注意到抛物面开口向下，因此截柱体所得立体觉得顶，以平面为底。而在xy面上的投影区域为一三角形区域, 由所围成。 6 O 1 1解 措施小结若所求立体为柱体被其她曲面所截得，则只需拟定其顶部曲面方程和底部曲面方程。即得z的积分区域。而，y的积分区域则可根据顶部在xoy面上的投影而定。例10运用三重积分计算下列曲面：球面及所
7、围成的立体的体积。分析所求立体的上部为球面，下部为圆锥面，在在oy面上的投影区域为圆。因此不难化成三重积分。但注意到所波及的曲面方程,用球面坐标计算会更为以便。所求立体如图所示: z a O y x解 用球面坐标,立体区域为措施小结若所求立体为球面、圆锥曲面等所围成,投影区域为圆域，则采用球面坐标计算更为以便。例1设有一等腰直角三角形薄片，腰长为,各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方。求该薄片的重心。 xy= (）O a 分析由于面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，即。由对称性可知:重心(）满足:。套用重心公式，即可求得。解 从而薄片的重心坐标为:。因此薄片的重心为。措施小结求重心有
8、固定的公式:,当面密度函数有关x,y 对称,而区域D也为对称图形时,可得,从而减计算量。例12.求位于两圆r 2sin和r = 4sn之间的均匀薄片的重心分析 yD O x如图所示:均匀薄片D对称于y轴, 重心（）必位于y轴上, 因此，只需计算根据题设,用极坐标计算会比较以便。解 不妨设密度为,由于闭区域D对称于y轴,因此重心（)必位于y轴上，于是。再按公式计算，由于闭区域位于半径为1与半径为2的两圆之间,因此它的面积等于这两个圆的面积之差，即A =。再运用极坐标计算积分:,因此。因此重心为（)。措施小结 求重心有固定的公式：，如果物体为均匀薄片，可设密度为1,从而进一步简化计算。而题中薄片面
9、积的计算也比较巧妙。例13求均匀半球体的重心。分析为使物体有关坐标系具有对称性,可取半球体的对称轴为z轴,原点取在球心上,这样半球体的重心就位于z 轴上,从而重心只需算一种坐标分量。解 取半球体的对称轴为z轴,原点取在球心上,又设球半径为a，则半球体所占空间闭区域可用不等式x+y+za2,z0来表达。显然,重心在z轴上，故。,因此重心为。措施小结 求物体的重心,也可尽量使物体的位置有关坐标系具有对称性,从而达到简化计算的目的。而该题中由于物体为半球体，因此用球面坐标计算三重积分会更为以便。例14在均匀半圆形薄片的直径上,要接上一种一边与直径等长的均匀矩形薄片,为了使整个均匀薄片的重心正好落在圆
10、心上，问接上去的均匀薄片另一边的长度应是多少?分析设半圆形薄片的半径为R,所接矩形薄片的另一边长度为(如下图）,根据题意,均匀薄片的重心(）满足:。从中可逆推出值。 y O R x - 解 设半圆形薄片的半径为R，所接矩形薄片的另一边长度为H。由题意,均匀薄片的重心（）满足:。而，又因。因此得。从中解得。因此接上去的均匀薄片另一边的长度为时，其重心正好落在圆心上。措施小结对于本题，选择一种合理的坐标系有助于我们解题。由于将圆心置于原点，从而使重心坐标(）满足:。从中可求得待定的边长。例5.设有一半径为R的球体，P0是此球体的表面上的一种定点，球体上任一点的密度与该点到P距离的平方成正比(比例常
11、数k0)，求球体的重心位置。分析恰本地选用坐标系可以简化计算，因此可选球心为原点,射线OP0为正轴建立直角坐标系。解记所考虑的球体为，以的球心为原点,射线OP0为正轴建立直角坐标系,则点P0的坐标为（R,0,0），球面的方程为，设的重心位置为，由对称性,得,，而 ， 因此的重心位置为。措施小结本题也可将定点P0设为原点,球心为,射线0为正z轴建立直角坐标系，则球面的方程为，采用如上措施可求的重心位置为(0,0，R4）。例16.已知均匀半球体的半径为,在该球体的底圆的一旁拼接一种半径与球的半径相等，材料相似的均匀圆柱体,使圆柱体的底圆与半球的底圆重叠，为了使拼接后的整个立体重心正好是球心，问圆柱
12、的高应为多少？分析建立坐标系,使圆柱体与半球的底圆在XOY面上，圆柱体的中心轴为z轴。这样立体有关坐标系具有对称性，由题意知重心正好为原点，运用重心坐标计算公式可反解出圆柱的高。解如图所示,设所求圆柱的高为H，半球和圆柱体分别为， z O x由题意知重心正好为原点,故,于是而从中解得。措施小结本题由于合适选用了坐标系,使重心坐标简化,而与否应用柱面坐标和球面坐标计算三重积分又是根据立体的特性而定。例17.设均匀薄片,面密度为1,薄片所占区域为:，求转动惯量。 y b a x分析一由于区域D为椭圆，中心位于原点。因此具有对称性。因此求转动惯量时，只须求区域D上的转动惯量。解一令, 分析二解法一中的变量替代是比较常用的。考虑到区域是椭圆,可通过合适的变量替代,将椭圆区域化为圆,从而简化计算。解二令,则在此变换下,：化为:。又。因此
