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1、N人博弈的均衡点约翰F纳什可以这样定义n人博弈(n-person game), n个参与人(player),每个参与人的纯策 略(pure strategy)集为有限集,对于每个纯策略的n元组合,n个参与人具有与之对应 的明确的支付集,纯策略的n元组合中,一个策略对应一个参与人。混合策略(mixed strategy)是纯策略上的概率分布,支付函数(pay-off function)是参与人的期望,因此 在概率上是多元线性形式的,表示各个参与人采用各个纯策略的概率。任意的策略n元组合(n-tuple of strategies),一个策略对应一个参与人,可以看作 是由参与人的n个策略空间相乘得
2、到的乘积空间(product space)中的一点。一个这样的 n元组合优超(counter)另一个,如果优超的n元组合中的每个参与人的策略,使得该参 与人产生最高可得期望。这是因为给定的优超n元组合中任一参与人都会对抗其他参与人的 n-1个策略。自我优超(self-countering)的策略n元组合称为均衡点。每个n元组合与其优超集的对应,都给出了乘积空间到其本身的一个一对多的映射(a one-to-many mapping)。从优超的定义,我们看到一点的优超点的集合是凸的(convex)。 利用支付函数的连续性,我们得到该映射的图是闭的。闭性等价于:如果P1,P2, -和Q1, Q2,Q
3、n,是乘积空间中的点列,并且Qnf Q,Pnf P,Qn优超Pn,那么Q优超P。因为图是闭的,并且每个点在映射下的对应是凸的,由角谷不动点定理(Kakutanis theorem) 我们得到该映射存在不动点(即该点包含在它自已的对应中)。因此,存在均衡 点。在二人零和博弈中,“主要定理”和均衡点的存在性是等价的。在这种情况下,任意两 个均衡点对每个参与人导致相同的期望,但是一般情况下并不成立。作者感谢戴维盖尔(David Gale)博士建议利用角谷不动点定理简化证明,以及A.E.C. 的资金资助。 Kakutani,S.,Q炫 Math.J.,8,457-459(1941). Von Neumann,j.,and Morgenstern,。.,The Theory of Games and EconomicBehaviour,Chap.3,Princeton,1947.