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1、【本讲主要内容】圆周运动、向心加速度、向心力描述圆周运动的量间的关系，实际圆周运动问题中的向心力分析。【知识掌握】【知识点精析】1、匀速圆周运动的特点如果质点沿圆周运动，在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动叫匀速圆周运动。匀速圆周运动的轨迹为曲线，v方向时刻在变，快慢程度不改变，是变速运动，做匀速圆周运动的物体状态是非平衡态，所受合外力不为零，是变加速运动（a方向时刻在变）。 2、描述圆周运动的物理量（1）线速度：线速度大小又叫速率，用表示，S为弧长，为通过这段弧长的时间，速率越大则沿弧运动得越快。线速度的方向为圆的切线方向。线速度就是圆周运动的瞬时速度。（2）角速度：连接质点和圆心的半径转
2、过的角度，与所用时间的比叫角速度。的单位是弧度，时间单位是秒，的单位就是弧度/秒，用字母表示为，角速度的大小描述了做圆周运动绕圆心转动快慢程度。角速度大则绕圆心转得快。对一个不变形的物体转动中任何点转过的角度都相同，所以角速度都相同。（3）周期：使圆周运动的物体运动一周的时间叫周期，用字母T表示，单位为秒。周期描述圆周运动重复的快慢，也反映了转动快慢。周期越小，转动越快。（4）频率：1秒内完成圆周运动的次数叫频率。它是周期的倒数，单位是1/秒。用符号表示，单位又叫赫兹（），越大，转动就越快。（5）转速：工程技术中常用。定义为每秒转过的圈数，数值与频率相同，单位也是1/秒。（6）的关系： T =
3、 1/f = 2/ = 2r/v = 2/T = 2f = v/r v = r = 2r/T = 2fr 例1、地球自转的问题 讨论1：比较在北京和在赤道两处物体随地球做自转的角速度。地球表面上的物体随地球做匀速圆周运动的角速度都相同。由于地球自转周期为T24h，故可求得地球自转角速度7.3rads讨论2：比较在北京和在赤道两处物体随地球自转的线速度。当角速度一定时，赤道处转动半径最大，故线速度最大，随着纬度增大，转动半径减小，线速度减小，设地球半径为，则在纬度为时的线速度为。例2、传动装置的问题抓住：凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是
4、同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点，角速度相等（轴上的点除外）。推荐精选3、向心加速度： （1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。 （2）大小：a向= v2/r= v= 2r= （42/T2）r= 42f2r 注意：a与r是成正比还是反比要看前提条件。例1、如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。解：va= vc，ab=21，而b=c=d ，所以abcd =2111；而vbvcvd =124，所以vavbvcvd =2124；再利用a=v，可得aaabacad=4124 （3）方向：总
5、是指向圆心，方向时刻在变化。 4、向心力： （1）作用：用于产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。向心力不做功。 小结：与速度方向垂直的力只改变速度的方向，平行速度方向的力只改变速度的大小。 （2）大小：F向= ma向= mv2/r = mv=m2r =m （42/T2）r = m（42f2）r （3）方向：总沿半径指向圆心。5、匀速圆周运动条件：物体所受的合力完全充当匀速圆周运动的向心力。当物体做匀速圆周运动，外力或几个外力的合力大小方向总指向圆心，就是做匀速圆周运动所需要的力恰好与合外力相等。如果沿半径方向的合外力大于做圆周运动所需的向心力，物体将做向心运动，半径将减小；
6、如果沿半径方向的合外力小于做圆周运动所需的向心力，物体将做离心运动，半径将增大。注意：向心力是效果力，而非独立性质的力。任何一个力或几个力的合力只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力；不能认为做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用外，还要另外受到向心力。例： 带电粒子垂直射入匀强磁场做匀速圆周运动F向=f洛 电子绕原子核旋转 F向=F库天体运转：F向=F引 水平转盘上跟着匀速转动的物体 F向=f静。 绳（弹簧）拉小球在光滑水平面匀速转动 F向=T（F向=f弹） 圆锥摆：F向=F合（重力和弹力的合力）6、非匀速圆周运动： 线速度大小有变化，因而物体所受合力产生切向加速
7、度和向心加速度两个效果，可利用圆周运动的向心力公式解某瞬时的情况。推荐精选7、解题方法： （1）确定物体匀速圆周运动的轨道平面、圆心的位置及圆周运动的半径；（2）分析受力：当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。 （3）表达物体所受的合力（沿半径方向）； （4）列合力充当向心力的方程。做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律
8、：Fn=man在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用等各种形式）。8、典型问题：（1）火车转弯火车左右两侧的车轮分别沿铁轨运动，沿直线运动时，两条钢轨位于同一水平面内以防侧倾倒。而当火车转弯时，有向心加速度需要向心力，为此使钢轨不在一个平面内，外侧高而内侧低，本身不再是竖直的但能顺利转弯而不发生侧倾，否则车辆不能受到外力，要做离心运动，发生倾覆。见下图，列车转弯时，靠近圆心一侧为内侧，另一侧为外侧，相应为内轨、外轨，与列车前进方向无关。取水平面内转弯半径为r，内外轨距为d，内外轨高度差为h。转弯时竖直截面见图，由于转弯在水平面内转
9、弯半径为水平方向，向心加速度为水平方向。列车受力有重力，竖直向下，路轨支持力FN方向与双轨连线垂直，这两个力的合力做向心力，沿水平方向为F心。两轨道连线倾角为，推荐精选而 为转弯时速率 转弯时速率为则外力的合力恰好等于向心力，若则外力的合力小于向心力，要做离心运动火车向外侧翻倒，滑动，火车对外侧轨道有沿转弯半径向外的压力，火车向外侧推轨道。当则合外力大于向心力，要做近心运动，火车对内侧轨道有沿转弯半径向圆心方向的压力，即火车对内轨有向圆心方向的推力。火车提速，转弯半径r不改变则内外轨道高差h要增加，不然火车转弯有危险。（2）竖直圆：如图，没有物体支撑的小球（绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力，
10、或轨道对小球只能产生指向圆心的弹力），在竖直平面内做圆周运动过最高点时的情况。 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用，即重力提供小球做圆周运动的向心力，故，所以。小球能过最高点的条件：，当时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。不能过最高点的条件：（实际上球还没有到达最高点就脱离了轨道）。物体支撑小球（杆，管壁）：如图所示，因杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，所以小球能过最高点的条件是。当时，（为支持力）。当，随着v的增大而减小，且，为支持力。当时，（既没有拉力，也没有支持力）。当时，为拉力，随着v的增大而增大。如图所示，因轨道对球只能产生支持力，所以要使小球脱离轨道做平抛运动，小球最高
11、点的速度必须符合：。推荐精选【解题方法指导】本单元知识应用的过程中，常犯的错误主要表现在：对物体做圆周运动时的受力情况不能做出正确的分析，特别是物体在水平面内做圆周运动，静摩擦力参与提供向心力的情况；对牛顿运动定律、圆周运动的规律及机械能守恒定律等知识内容不能综合地灵活应用，如对于被绳（或杆、轨道）束缚的物体在竖直面的圆周运动问题，由于涉及到多方面知识的综合，表现出解答问题时顾此失彼。例题1、如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1=35cm，小齿
12、轮的半径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。（假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对滑动）解析：该题要求理解圆周运动中线速度、角速度和向心加速度的关系，又要理解和掌握同一轮子上的不同点在转动时角速度相等；用同一条皮带相连的两个轮子，当皮带不打滑时，这两个轮子与皮带相连的边缘点的线速度大小相等。大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v=2nr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮间和轮轴的原理相同，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n1n2=2175。例题2、汽车
13、与路面之间的动摩擦因数，转弯处弯道半径为，取。（1）若路面铺成水平的，汽车转弯时速度不能超过多大？（2）若路面铺成外侧高内侧低的坡面，倾角为，汽车以多大速度转弯，与路面无摩擦。解析：路面是水平的，汽车转弯，向心力沿水平方向。摩擦力做向心力，速度最大摩擦也最大。 推荐精选若弯路是坡面，且车与路面无侧向摩擦力则 【考点突破】【考点指要】匀速圆周运动是曲线运动中最简单、最基本的一种运动，它的知识在以后的学习中经常应用，在历年的高考中也经常考查到，所以它不仅是学生学习的重点和难点，也是高考的热点，2005年北京理综23题、2004年全国理综20题均就本知识点出题，天体运动、电磁场中的圆周运动是近期出题
14、的方向。解决圆周运动问题，一要把握线量和角量的联系，二要建立所需要的向心力与实际提供向心力的力间的联系。竖直圆周运动过程的求解通常结合能量知识，求解向心力问题认清轨道平面和中心，正确分析受力是解题成功的保证。【典型例题分析】例题1、如图为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则（ ）A. a点与b点的线速度大小相等B. a点与b点的角速度大小相等C. a点与c点的线速度大小相等D. a点与d点的向心加速度大小相等解析：皮带不打滑，
15、故a、c两点线速度相等，选C；c点、b点在同一轮轴上角速度相等，半径不同，由，b点与c点线速度不相等，故a与b线速度不等，A错；同样可判定a与c角速度不同，即a与b角速度不同，B错；设a点的线速度为，则a点向心加速度，由，所以，故，D正确。本题正确答案C、D。点评：处理皮带问题的要点为：皮带（链条）上各点以及两轮边缘上各点的线速度大小相等，同一轮上各点的角速度相同。例题2、如图所示，杆长为，球的质量为，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为推荐精选，求这时小球的瞬时速度大小。解析：小球所需向心力向下，本题中，所以弹力的方向可能向上也可能向下。（1）若F向上，则，；（2）若F向下，则，点评：本
