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1、第一章第一章 行列式行列式一一.二三阶行列式二三阶行列式二二.排列与逆序排列与逆序三三.n 阶行列式的定义阶行列式的定义四四.行列式的性质行列式的性质五五.行列式按行列展开行列式按行列展开六六.Cramer 法那么法那么 行列式概念的形成行列式概念的形成 行列式的根本性质及计算方法行列式的根本性质及计算方法定义定义 利用行列式求解线性方程组利用行列式求解线性方程组本章安排本章安排5/14/20241精选课件本章主要讨论以上三个问题。本章主要讨论以上三个问题。首先来看行列式概念的形成首先来看行列式概念的形成问题的提出：问题的提出：分析二、三元线性方程组求解过程分析二、三元线性方程组求解过程二阶、
2、三阶行列式的概念二阶、三阶行列式的概念引出引出5/14/20242精选课件第一节第一节 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1.二阶行列式二阶行列式二元线性方程组：二元线性方程组：由消元法，得由消元法，得得得同理，得同理，得于是，当于是，当时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解5/14/20243精选课件为便于记忆，采用为便于记忆，采用记号记号称称为为二阶行列式二阶行列式其中其中，数，数称为二阶行列式称为二阶行列式元素元素 为行标，表明元素位于第为行标，表明元素位于第 行行 为列标，表明元素位于第为列标，表明元素位于第 列列5/14/20244精选课件注：注：(1)二阶行列式二阶行列式 算出来是一个
3、数。算出来是一个数。(2)运算方法：对角线法那么运算方法：对角线法那么主对角线上元素之积主对角线上元素之积 副对角线上元素之积副对角线上元素之积因此，上述二元线性方程组的解可表示为因此，上述二元线性方程组的解可表示为5/14/20245精选课件综上，令综上，令那么，那么，称称 D 为方程组的为方程组的系数行列式系数行列式。5/14/20246精选课件例例1：解方程组解方程组解：解：因为因为所以所以5/14/20247精选课件2.三阶行列式三阶行列式类似地，为讨论三元线性方程组类似地，为讨论三元线性方程组记记称为称为三阶行列式三阶行列式其中其中，数，数称为元素称为元素 为行标，为行标，为列标。为
4、列标。5/14/20248精选课件注：注：(1)三阶行列式三阶行列式 算出来也是一个数。算出来也是一个数。(2)运算方法：对角线法那么运算方法：对角线法那么例：例：5/14/20249精选课件对于三元线性方程组，假设其系数行列式对于三元线性方程组，假设其系数行列式可以可以验证验证，方程组有唯一解，方程组有唯一解:其中其中:5/14/202410精选课件第二节第二节 n阶行列式的的定义阶行列式的的定义定义定义1：由自然数由自然数1，2，n 组成的一个组成的一个有序数组有序数组 称为一个称为一个 n 级排列级排列。例如：例如：12345 5432151234 4213553214 53124都是数
5、都是数1，2，3，4，5的排列。的排列。回忆：回忆：n个数的不同排列共有个数的不同排列共有 个。个。n!自然排列：自然排列：按数的大小次序，由小到大排列：按数的大小次序，由小到大排列：思考：思考：n级排列中，自然排列只有一种级排列中，自然排列只有一种除此之外，任一除此之外，任一n级排列都一定出现较大数码级排列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况。排在较小数码之前的情况。12345.n一、一、排列排列5/14/202411精选课件定义定义21在一个排列中，假设某个较大的数排在某个较小在一个排列中，假设某个较大的数排在某个较小的的 数前面，就称这两个数构成一个逆序。数前面，就称这两个数构成一个
6、逆序。2一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的奇排列：奇排列：逆序数为奇数的排列。逆序数为奇数的排列。偶排列：偶排列：逆序数为偶数的排列。逆序数为偶数的排列。逆序数，逆序数，定义定义35/14/202412精选课件计算排列的逆序数的方法：计算排列的逆序数的方法：法法 1：n个数的任一个数的任一n级排列，先看数级排列，先看数1，看有多少个比，看有多少个比1大的数大的数排在排在1前面，记为前面，记为再看有多少个比再看有多少个比2大的数排在大的数排在2前面，记为前面，记为继续下去，最后至数继续下去，最后至数n，前面比，前面比n大的数显然没有，大的数显然没有，
7、那么此排列的逆序数为那么此排列的逆序数为例例1是偶排列。是偶排列。是奇排列。是奇排列。5/14/202413精选课件法法 2：n 级排列级排列的逆序数的逆序数法法3：5/14/202414精选课件例例2：求排列求排列 3，2，5，1，4 的逆序数。的逆序数。解：解：法法1法法2法法3例例3：求排列求排列 4，5，3，1，6，2 的逆序数。的逆序数。5/14/202415精选课件考虑，在考虑，在 1，2，3 的全排列中的全排列中有有 个偶排列：个偶排列：有有 个奇排列：个奇排列：123，231，312132，213，32133一般说来，在一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半个数码的全
8、排列中，奇偶排列各占一半定义定义4：把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换对换。将相邻的两个数对换，称为将相邻的两个数对换，称为相邻对换相邻对换。5/14/202416精选课件定理定理1：对换改变排列的奇偶性。对换改变排列的奇偶性。证明思路：证明思路：先证相邻两数的对换，再证一般对换。先证相邻两数的对换，再证一般对换。定理定理2：时，时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为一半，各为个。个。证明：证明：设设n个数的排列中，个数的排列中，奇排列
9、有奇排列有 p 个，偶排列有个，偶排列有 q 个，个，那么那么 pqn！对对 p 个奇排列，施行同一对换，个奇排列，施行同一对换，那么由定理那么由定理1得到得到 p 个偶排列。而且是个偶排列。而且是p个不同的偶排列个不同的偶排列因为总共有因为总共有 q 个偶排列，所以个偶排列，所以同理同理所以所以5/14/202417精选课件二二.3阶行列式的规律阶行列式的规律观察三阶行列式观察三阶行列式寻找寻找规律规律：1.三阶行列式是三阶行列式是 3！项的代数和。项的代数和。2.每一项都是取自不同行、不同列的每一项都是取自不同行、不同列的 3 个元素的乘积。个元素的乘积。3.每项的符号规律每项的符号规律其
10、任一项可写成：其任一项可写成：其中其中是是123的一个排列的一个排列当当是偶排列时，项是偶排列时，项取正号取正号当当是奇排列时，项是奇排列时，项取负号取负号5/14/202418精选课件根据二、三阶行列式的构造规律，我们来定义根据二、三阶行列式的构造规律，我们来定义 n 阶行列式阶行列式定义定义5：n 阶行列式阶行列式指的是指的是n！项的代数和，！项的代数和，其中每一项都是取自不同行、不同列的其中每一项都是取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积，个元素的乘积，其一般项为其一般项为这里这里是是12n的一个排列的一个排列当当是偶排列时，项前面带正号是偶排列时，项前面带正号当当是奇排列时，项前面带负
11、号是奇排列时，项前面带负号三三.n 阶行列式的定义阶行列式的定义 5/14/202419精选课件即即其中其中表示对所有表示对所有n元排列取和元排列取和注：注：(1)当当n=1时，一阶行列式时，一阶行列式此处此处不是不是a的绝对值，的绝对值，例如行列式例如行列式(2)定义说明，计算定义说明，计算n阶行列式，首先必须作出所有的阶行列式，首先必须作出所有的(3)可能的位于不同行、不同列的可能的位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这些个元素的乘积，把这些(4)乘积的元素的第一个下标行标按自然顺序排列，乘积的元素的第一个下标行标按自然顺序排列，(5)然后看第二个下标列标所成的奇偶性来决定这一然后看第二
12、个下标列标所成的奇偶性来决定这一(6)项的符号。项的符号。5/14/202420精选课件例例4写出四阶行列式中含有因子写出四阶行列式中含有因子的项。的项。例例5假设假设为四阶行列式的项，试确定为四阶行列式的项，试确定i与与k，使前两项带正号，使前两项带正号，后一项带负号。后一项带负号。例例7计算四阶行列式计算四阶行列式例例6计算行列式计算行列式5/14/202421精选课件四个特殊行列式四个特殊行列式(1)上三角形行列式上三角形行列式 主对角线下侧元素都为主对角线下侧元素都为0(2)下三角形行列式下三角形行列式 主对角线上侧元素都为主对角线上侧元素都为05/14/202422精选课件(3)显然
13、显然(4)5/14/202423精选课件定理定理3在行列式中在行列式中的符号等于的符号等于证明：证明：由行列式定义可知，确定项由行列式定义可知，确定项的符号，的符号，需要把各元素的次序进行调动，使其行标成自然排列。需要把各元素的次序进行调动，使其行标成自然排列。为此，我们先来研究假设交换项为此，我们先来研究假设交换项1中某两个元素的中某两个元素的位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化。位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化。对换任意两元素，相当于项对换任意两元素，相当于项1的元素行标排列及的元素行标排列及列标排列同时经过一次对换。列标排列同时经过一次对换。5/14/202424精选课件设对
14、换前行标排列的逆序数为设对换前行标排列的逆序数为s，列标排列的逆序数为，列标排列的逆序数为t。设经过一次对换后行标排列的逆序数为设经过一次对换后行标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为由定理，对换改变排列的奇偶性由定理，对换改变排列的奇偶性所以，所以，是奇数是奇数也是奇数也是奇数所以所以是偶数，是偶数，即即是偶数，是偶数，所以所以与与同时为奇数或同时为偶数。同时为奇数或同时为偶数。即，交换项即，交换项1中任意两个元素的位置后，其行标和列标中任意两个元素的位置后，其行标和列标所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变。所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变。5/14/202425精选课件另一方面，经过假设干次对换项另一方面，经过假设干次对换项1中元素的次序，中元素的次序，总可以总可以 把项把项1变为变为所以所以得证。得证。5/14/202426精选课件由此，得行列式的等价定义由此，得行列式的等价定义5/14/202427精选课件作 业习题一：习题一：1 1；4 41 12 24 4；7 71 15/14/202428精选课件
