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1、第四节基本不等式及其应用A组基础题组1.(2016海南调研)已知a,b(0,+),且a+b=1,则ab的最大值为()A.1B.C.D.2.当x0时,函数f(x)=有()A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值23.(-6a3)的最大值为()A.9B.C.3D.4.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.0,2B.-2,0C.-2,+)D.(-,-25.(2016宁夏银川模拟)若直线2ax+by-2=0(a0,b0)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则+的最小值是()A.2-B.-1C.3+2D.3-26.已知函数f(x)=4x+(x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=.7.已
2、知a0,b0,a+2b=3,则+的最小值为.8.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为.9.已知x0,y0,且2x+8y-xy=0,求(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.10.某厂家拟在2017年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x=3-(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2017年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2017年该产品的利润y万元表示为年促销
3、费用m万元的函数;(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?B组提升题组11.(2016东北育才学校模拟)设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0)(a0,b0,O为坐标原点),若A,B,C三点共线,则+的最小值是()A.4B.C.8D.912.(2016安徽铜陵二模)已知a-1,b-2,(a+1)(b+2)=16,则a+b的最小值是()A.4B.5C.6D.713.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+0,y0时,xy+(2y)x的最小值为.16.已知x,yR且满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为.17.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且
4、面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周的围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该水池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.答案全解全析A组基础题组1.Ba,b(0,+),1=a+b2,ab,当且仅当a=b=时等号成立.2.Bx0,f(x)=1.当且仅当x=,即x=1时取等号.所以f(x)有最大值1.3.B因为-6a3,所以3-a0,a+60,则
5、由基本不等式可知,=,当且仅当a=-时等号成立.4.D1=2x+2y2=2(当且仅当2x=2y时等号成立),2x+y,x+y-2.5.C易知圆心为(1,2),由题意知圆心(1,2)在直线2ax+by-2=0上,a+b=1,+=(a+b)=3+3+2.当且仅当=,即a=2-,b=-1时等号成立.6.答案36解析x0,a0,f(x)=4x+2=4,当且仅当4x=,即a=4x2时取等号,则由题意知a=432=36.7.答案解析由a+2b=3得a+b=1,又a0,b0,+=+2=.当且仅当a=2b=时取等号.8.答案2解析由+=,知a0,b0,所以=+2,即ab2,当且仅当即a=,b=2时取“=”,所
6、以ab的最小值为2.9.解析(1)由2x+8y-xy=0,得+=1.又x0,y0,所以1=+2=,得xy64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=(x+y)=10+10+2=18.当且仅当x=12且y=6时等号成立,所以x+y的最小值为18.10.解析(1)由题意知,当m=0时,x=1,1=3-kk=2,x=3-,每件产品的销售价格为1.5(元),y=1.5x-8-16x-m=-+29(m0).(2)m0时,+(m+1)2=8,当且仅当=m+1,即m=3时,取等号,y-8+29=21.故该厂家2017年的促销费用投入3
7、万元时,厂家的利润最大.B组提升题组11.D=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),若A,B,C三点共线,则有,(a-1)2-1(-b-1)=0,2a+b=1,又a0,b0,+=(2a+b)=5+5+2=9,当且仅当即a=b=时等号成立.12.B因为a-1,b-2,所以a+10,b+20,又(a+1)(b+2),即16,则a+b5,当且仅当a+1=b+2,即a=3,b=2时等号成立,故选B.13.B不等式x+m2-3m有解,0,y0,且+=1,x+=+22+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时取等号,=4,故m2-3m4,解得m4.实数m的取值范围是(-,-1)(4,+),故选B.14
8、.B由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,=.又x、y为正实数,+4,当且仅当x=2y时取等号,此时有最大值,z=2y2.+-=+-=-+=-+1,当=1,即y=1时,上式有最大值1,故选B.15.答案解析xy+(2y)x=+=+,x0,y0,+2=,当且仅当=,即x=y时等号成立,故所求的最小值为.16.答案4,12解析2xy=6-(x2+4y2),又2xy,6-(x2+4y2),x2+4y24(当且仅当x=2y时取等号).又(x+2y)2=6+2xy0,即2xy-6,z=x2+4y2=6-2xy12(当且仅当x=-2y时取等号).综上可知4x2+4y212.即z=x2
9、+4y2的取值范围为4,12.17.解析(1)设总造价为f(x)元,污水处理池的宽为x米,则长为米.总造价f(x)=400+2482x+80162=1296x+12960=元,x0,f(x)12962+12960=38880,当且仅当x=,即x=10时取等号.当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38880元.(2)由限制条件知x16.设g(x)=x+,则g(x)=1-,因为g(x)=1-在上恒大于零,故g(x)在上是增函数,当x=时,g(x)取最小值,即f(x)取最小值,为1296+12960=38882.当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,最低总造价为38882元. /
